---

Overview

Wprowadzenie
P1m
P2m
P3m
P1r
P2r
P3r
Z1
Z2
Z3
Z4

---

Sheet 1: Wprowadzenie

Lab. 2. Zagadnienie diety
Do wykonania
a) na podstawie przykładów modeli matematycznych w arkuszach P1m, P2m, P3m sformułować modele dla zadań Z1, Z2, Z3 i Z4.
b) na podstawie przykładów P1r, P2r, P3r znaleźć rozwiązania zadań Z1, Z2, Z3 i Z4.
Wyniki
Z1: koszt = 36
Z2: koszt = 60
Z3: koszt = 45
Z4: koszt = 19550

---

Sheet 2: P1m

Przykład 1 - model.
Żyrafa potrzebuje dziennie (średnio) co najmniej 2,5 kg białka oraz co najmniej 100g błonnika.
Zawartość poszczególnych składników w kilogramie produktów (młode gałązki i lucerna) zawiera tablica:
Składnik	młode gałązki [kg]	lucerna [kg]
białko [kg]	0,2	0,1
błonnik [g]	4	6
Cena	0,40 zł	0,30 zł
Jak należy karmić żyrafę, aby koszt zakupu produktów był minimalny?
Rozwiązanie
Przed sformułowaniem modelu PL (programowania liniowego, inaczej modelu matematycznego)
należy uważnie przeczytać zadanie i określić zmienne decyzyjne, funkcję celu oraz ograniczenia.
								Uwaga:
Zauważmy, że:								Proszę zwrócić uwagę, że ilość składników może być przedstawiana w innych jednostkach
- jeden kg młodych gałązek dostarcza 0,2 kg białka oraz 4 g błonnika								niż jednostki produktów. Na przykład produkt może być mierzony w sztukach,
- jeden kg lucerny dostarcza 0,1 kg białka oraz 6 g błonnika								a składniki w gramach, mg, litrach.
Naszym zadaniem jest zaplanowanie zakupu młodych gałązek i lucerny tak, aby dzienny koszt był jak najniższy.
Jeśli zdecydujemy się na zakup 10 kg gałązek dostarczymy 2 kg białka i 40 g błonnika.
Porównując to do wymagań (co najmniej 2,5 kg białka oraz co najmniej 100g błonnika) - jest to za mało.
Ile zatem kupić poszczególnych produktów (to jest gałązek oraz lucerny) ?
Postawione w ten sposób pytanie określa nam zmienne decyzyjne:
x1 - liczba kg gałązek
x2 - liczba kg lucerny
Funkcja celu określa jaki jest koszt zakupu wybranej ilości produktów
Ostatnie zdanie treści zadania daje nam podstawę do zapisania:
F = 0,4x1 + 0,3x2 -> minimum
Czyli szukamy takiego x1 i x2, dla których funkcja celu (to jest koszt zakupu) jest jak najmniejszy.
Oczywiście najtaniej byłoby nic nie kupować, ale wtedy nie zaspokoimy zapotrzebowania.
Musimy zatem wziąć pod uwagę to, co należy dostarczyć.
Zapisujemy zatem warunki ograniczające:
0,2x1 + 0,1x2 >= 2,5			dla białka
4x1 + 6x2 >= 100			dla błonnika
W przypadku zakupu 1 kg gałązek oraz 1 kg lucerny dostarczymy 0,2 * 1 + 0,1 * 1 = 0,3 kg białka
W przypadku zakupu 1 kg gałązek oraz 1 kg lucerny dostarczymy 4 * 1 + 6 * 1 = 10 g błonnika
W przypadku zakupu 5 kg gałązek oraz 1 kg lucerny dostarczymy 0,2 * 5 + 0,1 * 1 = 1,1 kg białka
W przypadku zakupu 5 kg gałązek oraz 1 kg lucerny dostarczymy 4 * 5 + 6 * 1 = 26 g błonnika
Dodatkowymi warunkami są warunki nieujemności:
x1 >= 0		nie można kupić ujemnej liczby kg gałązek
x2 >= 0		nie można kupić ujemnej liczby kg lucerny
Model matematyczny:
F = 0,4x1 + 0,3x2 -> minimum					Wskazówka:
0,2x1 + 0,1x2 >= 2,5					Indeks dolny przy x otrzymujemy w nastepujący sposób:
4x1 + 6x2 >= 100					- zapisujemy x1
x1 >= 0					- zaznaczamy 1
x2 >= 0					- naciskamy Ctrl-1 i wybieramy indeks dolny, a następnie naciskamy dwa razy Enter
x1 - liczba kg gałązek
x2 - liczba kg lucerny

---

Sheet 3: P2m

Przykład 2 - model.
Żyrafa potrzebuje dziennie (średnio) co najmniej 2,5 kg białka oraz co najmniej 100g błonnika, ale kaloryczność posiłków nie może przekroczyć 20 Mcal.
Zawartość poszczególnych składników w kilogramie produktów /młode gałązki i lucerna/zawiera tablica:
Składnik	młode gałązki [kg]	lucerna [kg]
białko [kg]	0,2	0,1
błonnik [g]	4	6
kaloryczność [Mcal]	1	0,8
Cena	0,40 zł	0,30 zł
Jak należy karmić żyrafę, aby koszt zakupu produktów był minimalny?
Rozwiązanie
Model matematyczny:
F = 0,4x1 + 0,3x2 -> minimum
0,2x1 + 0,1x2 >= 2,5
4x1 + 6x2 >= 100
1x1 + 0,8x2 <= 20
x1 >= 0
x2 >= 0
x1 - liczba kg gałązek
x2 - liczba kg lucerny

---

Sheet 4: P3m

Przykład 3 - model.
Dieta specjalna powinna dostarczyć tygodniowo co najmniej ponad 100 jednostek cukru i nie więcej niż 200 jednostek tłuszczu.
Koszt zakupu jednej paczki produktu P1 wynosi 2 zł, produktu P2 – 5 zł, produktu P3 - 3 zł. Zawartość obu składników w paczkach poszczególnych produktów przedstawia tabela:
Produkty	P1	P2	P3
Cukier	10	10	12
Tłuszcz	20	25	15
Dobierz skład diety optymalnie pod względem kosztów, biorąc pod uwagę, że można kupować wyłącznie całe paczki.
Rozwiązanie
Model matematyczny:
F = 2x1 + 5x2 + 3x3 -> minimum				koszt
10x1 + 10x2 + 12x3 >= 100			cukier
20x1 + 25x2 + 15x3 <= 200			tłuszcz
x1 >= 0				x1 - liczba paczek produktu P1
x2 >= 0				x2 - liczba paczek produktu P2
x3 >= 0				x3 - liczba paczek produktu P3
x1, x2, x3 - całkowite

---

Sheet 5: P1r

Przykład P1r

Model matematyczny:

F = 0,4x1 + 0,3x2 -> minimum

koszt zakupu

0,2x1 + 0,1x2 >= 2,5

białko

4x1 + 6x2 >= 100

błonnik

x1 >= 0

x2 >= 0

x1 - liczba kg gałązek

x2 - liczba kg lucerny

Rozwiązanie

Najpierw należy przenieść model do komórek Excela:

1. Określamy które komórki będą prezentowały zmienne decyzyjne (x1, x2, …)

x1

x2

zaznaczamy kolorem, w których komókach będą zmienne decyzyjne

1

3

oraz wprowadzamy tam przykładowe liczby (tymczasowe rozwiązanie, np. x1=1 oraz x2=3)

2. Wprowadzamy funkcję celu

F

1,3

=0,4 * C19 + 0,3 * D19

liczby 0,4 oraz 0,3 są przepisane z funkcji celu (patrz komórka A4)

natomiast C19 i D19 zawierają wartości x1 i x2

Widzimy, że wartość funkcji celu wynosi 1,3 zł (obliczenie 0,4 * 1 + 0,3 * 3).

Jeśli zmienimy komórkę C19 (czyli x1) na 4, to otrzymamy wartość funkcji celu równą 2,5 zł.

3. Określamy ograniczenia

Zwróćmy uwagę, że dążąc do minimalizacji funkcji celu powinniśmy wprowadzać jako wartości x1 i x2 (komórki C19 i D19)

liczby 0 i 0.

Przeszkodą są jednak minimalne zapotrzebowania (na białko i błonnik).

Dla x1 = 1 oraz x2 = 3 ilość dostarczonych składników wynosi:

białko

0,5

=0,2 * C19 + 0,1 * D19

błonnik

22

=4 * C19 + 6 * D19

Określamy ile co najmniej musimy dostarczyć składników

białko

0,5

>=

2,5

liczby 2,5 oraz 100 są przepisane z modelu matematycznego

błonnik

22

>=

100

Wprowadzamy jeszcze ogracznienia dotyczące nieujemności zmiennych decyzyjnych

x1

1

>=

0

przepisane z modelu matematycznego

x2

3

>=

0

liczby w komórkach C47 i C48 pochodzą z komórek oznaczonych powyżej kolorem żółtym

Zapisując wszystko razem, mamy:

x1

x2

1

3

liczba kg gałązek oraz lucerny

F

1,3

koszt

białko

0,5

>=

2,5

błonnik

22

>=

100

x1

1

>=

0

x2

3

>=

0

Możemy teraz ręcznie zmieniać komórki określające x1 (liczba kg gałązek) oraz x2 (liczba kg lucerny).

Wprowadzmy do komórki C53 wartość 20, a do komórki D53 wartość 5 (czyli 20 kg gałązek i 5 kg lucerny).

Co się zmieniło?

Funkcja celu jest teraz równa 9,5zł (komórka C55)

Dostarczone białko = 4,5kg (komórka C57)

Dostarczony błonnik 110 g (komórka C58)

Wszystkie warunki są spełnione - jest to więc jedno z rozwiązań dopuszczalnych (ale nie wiemy czy jest optymalne).

Wprowadzmy do komórki C53 wartość 10, a do komórki D53 wartość 10 (czyli 20 kg gałązek i 5 kg lucerny).

Co się zmieniło?

Funkcja celu jest teraz równa 7zł (komórka C55)

Dostarczone białko = 3kg (komórka C57)

Dostarczony błonnik 100 g (komórka C58)

Wszystkie warunki są spełnione - jest to więc jedno z rozwiązań dopuszczalnych (ale nie wiemy czy jest optymalne).

W ten sposób moglibyśmy zmieniać zawartość komórek C53 i D53 obserwując czy spełnione są ograczenia i ile wynosi wartość funkcji celu.

Być może w ciągu 15 minut udałoby nam się znaleźć taką dietę, która będzie kosztowała najmniej.

Bardziej efektywnym sposobem jest skorzystanie z Solvera (funkcjonalność Excela, wybieramy z menu Dane, a następnie na końcu po prawej - Solver).

Poniżej widzimy wypełnione okno Solvera dla zadania.

Naciśnięcie Rozwiąż spowoduje, że Solver sprawdzi różne rozwiązania (wartość x1 i x2) i wybierze z nich najlepsze (dla którego funkcja celu będzie minimalna).

Wynik:

F=6,25

Odp. W celu dostarczenia żyrafie wymaganych ilości białka i błonnika przy najniższym koszcie

x1=6,25

powinniśmy dziennie podawać 6,25 kg gałązek oraz 12,5 kg lucerny.

x2=12,5

Koszt zakupu produktów wyniesie wówczas 6,25 zł.

---

Sheet 6: P2r

Przykład P2r

Model matematyczny:

F = 0,4x1 + 0,3x2 -> minimum

0,2x1 + 0,1x2 >= 2,5

białko

4x1 + 6x2 >= 100

błonnik

1x1 + 0,8x2 <= 20

kaloryczność

x1 >= 0

x2 >= 0

x1 - liczba kg gałązek

x2 - liczba kg lucerny

Rozwiązanie optymalne

x1

x2

14,3

7,1

F

7,9

białko

3,6

>=

2,5

błonnik

100

>=

100

kaloryczność

20,0000002121287

<=

20

x1

14,3

>=

0

x2

7,1

>=

0

Wynik

F=7,9

x1=14,3

W celu wyżywienia żyrafy najniższym kosztem powinniśmy dostarczyć jej 14,3 kg gałązek oraz 7,1 kg lucerny.

x2=7,1

Dzienny koszt wyżywienia wyniesie wówczas 7,9 zł.

---

Sheet 7: P3r

Przykład P3r

F = 2x1 + 5x2 + 3x3 -> minimum

10x1 + 10x2 + 12x3 >= 100

cukier

20x1 + 25x2 + 15x3 <= 200

tłuszcz

x1 >= 0

x1 - liczba paczek produktu P1

x2 >= 0

x2 - liczba paczek produktu P2

Wskazówka:

x3 >= 0

x3 - liczba paczek produktu P3

dla wprowadzenia warunku "= całkowita" w Solverze

x1, x2, x3 - całkowite

należy przy dodawania ograniczenia wybrać "int"

Rozwiązanie

x1

x2

x3

0

5

5

F

40

cukier

110

>=

100

tłuszcz

200

<=

200

x1

0

>=

0

x2

5

>=

0

x3

5

>=

0

Wynik

W celu dostarczenia odpowiedniej ilości cukru i tłuszczy jak najniższym kosztem, powinniśmy

F = 40

podawać tygodniowo 5 paczek produktu P2 i 5 paczek produktu P3.

x1 = 0

x2 = 5

x3 = 5

---

Sheet 8: Z1

Zadanie 1.
Spółdzielnia produkcyjna sporządza mieszankę paszową dla trzody chlewnej z dwóch produktów: P1 i P2.
Mieszanka ma dostarczyć trzech składników: S1, S2 i S3 w ilościach nie mniejszych niż określone minima.
Zawartość składników odżywczych w jednostce podano w tabeli:
Składniki	P1 (kg)	P2 (kg)	Minima
S1 (jedn1)	3	9	27
S2 (jedn2)	8	4	32
S3 (jedn3)	12	3	36
Cena (zł)	6	9
Jaki musi być skład mieszanki, aby dostarczyć odpowiednią ilość składników oraz aby koszt zakupu był jak najmniejszy.
zmienne decyzyjne			x1 - liczba kilogramów paszy P1
			x2 - liczba kilogramow paszy P2
funkcja celu			F=6x1+9x2->min
warunki ograniczające			3x1+9x2>=27		skł S1
			8x1+4x2>=32		skł S2
			12x1+3x2>=36		skł S3
warunki nieujemności			x1>=0
			x2>=0
			x1	x2
			3	2
funkcja celu		F	36
		skł S1	27
		skł S2	32
		skł S3	42
		skł S1	27	>=	27
		skł S2	32	>=	32
		skł S3	42	>=	36
ograniczenia		x1	3	>=	0
		x2	2	>=	0

---

Sheet 9: Z2

Zadanie 2.
W skład racji pokarmowej wchodzą trzy produkty: siano, kiszonka i koncentraty zawierające następujące składniki odżywcze: białko, wapno i witaminy.
Zawartość tych składników w kilogramie poszczególnych produktów oraz minimalne normy zapotrzebowania podane są w tablicy:
Składniki
Produkty		Białko	Wapno	Witaminy
	Siano	50	6	2
	Kiszonka	20	4	1
	Koncentraty	180	3	1
	Normy zapotrzeb.	100	120	40
Określić optymalną rację żywieniową ze względu na minimalizację kosztów, jeżeli ceny kg produktów wynoszą odpowiednio : siana 3 zł, kiszonki 2 zł, koncentratów 5 zł.
Proszę zwrócić uwagę na inny niż w przykładach układ danych (wcześniej składniki były w wierszach, a teraz są w kolumnach)
	F=3x1+2x2+5x3 ->min
	50x1+20x2+180x3>=100
	6x1+4x2+3x3>=120
	2x1+1x2+1x3>=40
	x1>=0
	x2>=0
	x3>=0
		x1	x2	x3
		1	2	3
	F	22
		630	>=	100
		23	>=	120
		7	>=	40
	x1	1	>=	0
	x2	2	>=	0
	x3	3	>=	0

---

Sheet 10: Z3

Zadanie 3
Dziecko potrzebuje tygodniowo co najmniej 120 jednostek witaminy A, 60 jednostek wit. D, 36 jednostek wit. C oraz 180 jednostek wit. E.
Witaminy te są zawarte w dwóch pastylkach: P1 i P2.
Ze względu na szkodliwość witaminy A można jej spożyć najwyżej 240 jednostek.
Zawartość poszczególnych witamin w pastylkach zawiera tablica:
Witaminy	P1	P2
A	6	3
D	1	3
C	9	1
E	6	6
Cena	1,20 zł	1,80 zł
Ile należy zakupić pastylek P1 i P2, aby dostarczyć dziecku odpowiednią ilość witamin oraz aby koszt zakupu był minimalny?
	1,2x1+1,8x2->min						x1	x2
							15	15
	6x1+3x2>=120		6x1+3x2<=240
	1x1+3x2>=60					F	45
	9x1+1x2>=36
	6x1+6x2>=180						135	>=	120
							135	<=	240
	x1>=0						60	>=	60
	x2>=0						150	>=	36
							180	>=	180
							15	>=	0
							15	>=	0

---

Sheet 11: Z4

Zadanie 4.
Duża ferma hoduje świnie, które skarmia się paszą będącą mieszaniną trzech rodzajów ziarna. Każde z nich zawiera 4 składniki odżywcze: białko, wapń, witaminę B oraz witaminę H.
Informacje o przeciętnej zawartości poszczególnych składników odżywczych w jednostce wagowej ziarna, minimalnym dziennym
zapotrzebowaniu stada na składniki oraz cenie jednostkowej ziarna zamieszczono w poniższej tabeli.
Składnik odżywczy	Jednostka miary	Zawartość składnika w jednostce wagowej ziarna rodzaju			Minimalne dzienne zapotrzebowanie na składnik
		I	II	III
Białko	Mg	2	3	7	1250
Wapń	Mg	1	1	0	250
Witamina B	Mg	5	3	0	900
Witamina H	Mg	0,6	0,25	1	232,5
Cena ziarna	zł/jed.	41	35	96
Pomóż właścicielowi fermy dobrać skład paszy w taki sposób, aby koszt był jak najniższy.
	F=41x1+35x2+96x3->min
						x1	x2	x3
	2x1+3x2+7x3>=1250			bialko		200	50	100
	1x1+1x2>=250			wapń
	5x1+3x2>=900			wit B	F	19550
	0,6x1+0,25x2+1x3>=232,5			wit H
					białko	1250	>=	1250
	x1	>=	0		wapń	250	>=	250
	x2	>=	0		witB	1150	>=	900
	x3	>=	0		witH	232,5	>=	232,5
					x1	200	>=	0
					x2	50	>=	0
					x3	100	>=	0