Łukasz Czech
11 czerwca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 27
Zadanie 1 Dana jest macierz przejścia P =
1 1 1
1 1 0
0 1 0
od bazy B
1
do bazy B
2
w R[x]
2
,
gdzie B
2
=
1 + x + x
2
, −1 − x
2
, 1 + x + 2x
2
. Znaleźć bazę B
1
.
Zadanie 2 Dana jest macierz przejścia P =
1 0 −1
−1 1
1
1 0
0
od bazy B
1
do bazy B
2
w R[x]
2
. Wielomian u(x) ma w bazie B
2
współrzędne [3, −5, 7]
B
2
. Znaleźć współrzędne
wielomianu u(x) w bazie B
1
.
Zadanie 3 Niech E =
a b
−b a
,
a, b ∈ R
.
a) Wykazać, że (E, +, R, ·) jest przestrzenią wektorową.
b) Znaleźć bazę przestrzeni E.
c) Wykazać, że f : E 3
a b
−b a
→ a+ib ∈ C jest izomorfizmem przestrzeni (E, +, R, ·)
i (C, +R, ·).
Zadanie 4 Sprawdzić czy podane odwzorowania są liniowe. Jeśli tak, to wyznaczyć
Ker f , Im f , ich bazy i wymiary.
a) f : R[x]
3
→ R[x]
3
, (f (p))(x) = xp
0
(x + 1) − p(x + 1);
b) f : C → R, f (z) = Re z+ Im z;
c) f : C
0
(R) → C
0
(R), f (ϕ) = log (|ϕ(x)|).
Zadanie 5 Znaleźć macierze następujących odwzorowań liniowych w podanych bazach:
a) f : R[x]
2
→ R[x]
3
, (f (p))(x) = 3xp(−x), B
1
= (x
2
+ 2x, 3x − 1, x − 5), B
2
=
(x
3
+ x, x
3
− x, x
2
+ 1, x
2
− 1);
b) f : R[x]
2
→ R[x]
1
, (f (p))(x) = (3−x)p
00
(x)+4p
0
(x) w wybranych niestandardowych
bazach przestrzeni R[x]
2
i R[x]
1
;
c) f : M
2×2
→ M
2×2
,
f (A) = A
T
− A, B
1
= {E
1
, E
2
, E
3
, E
4
}, B
2
=
1 2
−1 0
,
−1
1
2 −1
,
0
2
1 −1
,
1 1
1 1
.