Łukasz Czech

11 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 27

Zadanie 1 Dana jest macierz przejścia P =








1 1 1
1 1 0
0 1 0








od bazy B

1

do bazy B

2

w R[x]

2

,

gdzie B

2

=

1 + x + x

2

, −1 − x

2

, 1 + x + 2x

2

. Znaleźć bazę B

1

.

Zadanie 2 Dana jest macierz przejścia P =








1 0 −1

−1 1

1

1 0

0








od bazy B

1

do bazy B

2

w R[x]

2

. Wielomian u(x) ma w bazie B

2

współrzędne [3, −5, 7]

B

2

. Znaleźć współrzędne

wielomianu u(x) w bazie B

1

.

Zadanie 3 Niech E =











a b

−b a





,

a, b ∈ R







.

a) Wykazać, że (E, +, R, ·) jest przestrzenią wektorową.

b) Znaleźć bazę przestrzeni E.

c) Wykazać, że f : E 3





a b

−b a





→ a+ib ∈ C jest izomorfizmem przestrzeni (E, +, R, ·)

i (C, +R, ·).

Zadanie 4 Sprawdzić czy podane odwzorowania są liniowe. Jeśli tak, to wyznaczyć
Ker f , Im f , ich bazy i wymiary.

a) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f (p))(x) = xp

0

(x + 1) − p(x + 1);

b) f : C → R, f (z) = Re z+ Im z;

c) f : C

0

(R) → C

0

(R), f (ϕ) = log (|ϕ(x)|).

Zadanie 5 Znaleźć macierze następujących odwzorowań liniowych w podanych bazach:

a) f : R[x]

2

→ R[x]

3

, (f (p))(x) = 3xp(−x), B

1

= (x

2

+ 2x, 3x − 1, x − 5), B

2

=

(x

3

+ x, x

3

− x, x

2

+ 1, x

2

− 1);

b) f : R[x]

2

→ R[x]

1

, (f (p))(x) = (3−x)p

00

(x)+4p

0

(x) w wybranych niestandardowych

bazach przestrzeni R[x]

2

i R[x]

1

;

c) f : M

2×2

→ M

2×2

,

f (A) = A

T

− A, B

1

= {E

1

, E

2

, E

3

, E

4

}, B

2

=











1 2

−1 0





,





−1

1

2 −1





,





0

2

1 −1





,





1 1
1 1











.