PROSTA

Równanie prostej. Każde równanie liniowe względem współrzędnych wyznacza prostą - i odwrotnie : równanie każdej prostej jest równaniem stopnia pierwszego.

1. Równanie ogólne prostej :

Ax + By + C = 0

gdzie A i B nie są równocześnie równe zeru,

Jeżeli A=0 (rys 1 ), prosta jest równoległa do osi Ox ; jeżeli B=0, prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C=0, prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Równanie każdej prostej nie równoległej do osi Oy można napisać w postaci

y = kx +b

W równaniu tym k jest współczynnikiem kątowym (kierunkowym) prostej , równym tgα , gdzie α jest kątem zawartym między dodatnim kierunkiem osi Ox a daną prostą , natomiast b jest rzędną punktu prostej o odciętej x = 0, zwaną rzędną początkową

2. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt P₁(x₁,y₁) i tworzącej kąt α z dodatnim kierunkiem osi Ox

y-y₁= k (x - x₁) , gdzie k = tgα dla α ≠ 0,5 π,

gdy α = 0,5 π, równanie prostej ma postać x- x₁=0

3. Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty P₁(x₁, y₁) i P₂ (x₂, y₂)

y- y₁= (y₂- y₁ / x₂ -x₁)(x - x₁), gdy x₁≠x₂;

w przypadku gdy x₁=x₂, równanie prostej przechodzącej przez punkty P₁ i P₂ ma postać x - x₁ = 0.

d) Równanie odcinkowe prostej. Jeżeli prosta przecina oś Ox w punkcie A(a,0), gdzie a ≠ 0, a oś Oy przecina w punkcie B(0,b), gdzie b ≠ 0, to a i b nazywają się zwykle odcinkami na osiach i równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B ma postać

x/a + y/b =1,

zwaną równaniem odcinkowym prostej.

5. Równanie normalne prostej :

xcosα+ysinα - p = 0,

gdzie α oznacza kąt utworzony przez dodatni kierunek osi Ox z półprostą, prowadzoną z początku układu współrzędnych prostopadle do danej prostej, przy czym 0 ≤ a < 2π, a p jest odległością danej prostej od początku układu współrzędnych. Równanie normalne prostej można otrzymać z równania ogólnego Ax+By+C=0 , gdzie A²+B² ≠0 i C≠0.W tym celu należy pomnożyć obie strony równania normalnego przez czynnik normujący μ=ε/√A²+B² , gdzie ε = 1,

gdy C<0, i ε = -1, gdy C>1, wreszcie w przypadku gdy C = 0 , można wziąć ε=1 lub ε = - 1.

Odległość punktu P₁(x₁,y₁) od prostej wyznaczonej równaniem normalnym xcosα+ysinα - p = 0 wyraża się wzorem

d = │x₁cosα+y₁sinα - p│,

Tzn. równa się bezwzględnej wartości liczby, którą otrzymuje się w wyniku podstawienia współrzędnych punktu P₁(x₁,y₁) do równania normalnego prostej.

Zauważamy, że wyrażenie x₁cosα+y₁sinα - p ma wartość dodatnią, gdy punkt P₁(x₁,y₁) i początek układu współrzędnych O leżą po przeciwnych stronach danej prostej , i ma wartość ujemną , gdy punkt P₁(x₁,y₁) leży po tej samej stronie danej prostej co i początek układu współrzędnych O.

Punkt przecięcia prostych. Jeżeli mamy dwie proste o równaniach A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0, to współrzędne punktu przecięcia tych prostych (x₀,y₀) otrzymuje się przez rozwiązanie układu tych równań względem x i y

Mogą zachodzić trzy przypadki:

1. Jeżeli

│A₁ B₁ │ ≠ 0 ,

│A₂ B₂ │

to proste przecinają się w punkcie P(x₀,y₀), gdzie

x₀ = │B₁ C₁ │ / │A₁ B₁ │ y₀ = │C₁ A₁ │ / │A₁ B₁ │

│B₂ C₂ │ │A₂ B₂ │ , │C₂ A₂ │ │A₂ B₂ │.

2. Jeżeli

│A₁ B₁ │ = 0 ale │B₁ C₁ │≠ 0, to │C₁ A₁ │≠ 0

│A₂ B₂ │ │B₂ C₂ │ │C₂ A₂ │

i proste nie mają żadnego punktu wspólnego , czyli są równoległe.

3. Jeżeli

│A₁ B₁ │ = 0 i równocześnie │B₁ C₁ │= 0 to │C₁ A₁ │= 0

│A₂ B₂ │ │B₂ C₂ │ │C₂ A₂ │

i proste mają wszystkie punkty wspólne, czyli pokrywają się. Można wtedy napisać proporcję

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

(z tym warunkiem, że jeżeli jeden z mianowników jest zerem, to i odpowiedni licznik jest zerem ).

Jeżeli dwie proste A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0 przecinają się w jednym punkcie , to trzecia prosta A₃x+B₃y+C₃ = 0 przechodzi przez ten punkt, gdy

│A₁ B₁ C₁│

│A₂ B₂ C₂│= 0

│A₃ B₃ C₃│

Kąt między dwiema prostymi. Jeżeli równania prostych dane są w postaci ogólnej proste A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0, to kąt α między tymi prostymi liczony od pierwszej prostej do drugiej w kierunku przeciwnym obiegowi wskazówek zegara wyznaczamy według wzorów

tgα= (A₁B₂ - A₂B₁) / (A₁A₂ - B₁B₂),

cosα = (A₁A₂ +B₁B₂) / √ A²₁+B²₁√ A²₂+B²₂ sinα = (A₁B₂ - A₂B₁) / √ A²₁+B²₁√ A²₂+B²₂

Jeżeli znane są współczynniki kątowe k₁ i k₂ danych prostych, to

tgα= (k₂ - k₁) / (1+ k₁k₂ ),

cosα = (1+ k₁k₂) / √1 + k²₁ √1 + k²₂ , sinα = (k₂ - k₁) / √1 + k²₁ √1 + k²₂

Proste A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0 są równoległe ,jeśli A₁B₂ - A₂B₁= 0 lub k₁ = k₂ (drugi wzór nie obejmuje prostych równoległych do osi Oy).

Proste A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0 są wzajemnie prostopadłe , jeżeli A₁A₂ - B₁B₂ = 0 lub k₂ = -1/k₁ (ostatni wzór nie obejmuje przypadku , gdy jedna prosta jest równoległa do osi Ox, a druga do osi Oy).

---