Temat maturalny nr 41

Definicje w wzory na ilość permutacji, kombinacji, wariacji, dwumian Newtona

Aby zobrazować sobie rodzaj potrzebnego nam wzoru posłużmy się prostym algorytmem

Kombinacja bez powtórzeń	Kombinacja z powtórzeniami	Wariacja bez powtórzeń	Wariacja z powtórzeniami

Definicje słowne.

C: Jeżeli ze zbioru n elementowego wybieramy podzbiory k elementowe (k ≤ n), w których elementy się nie powtarzają, to mamy kombinację k elementową bez powtórzeń, utworzoną ze zbioru n elementowego. Liczba kombinacji k elementowych utworzonych z n elementów wyraża się wzorem:

K: Jeżeli ze zbioru n elementowego wybieramy podzbiór k elementowy , w których elementy się mogą się powtarzać, to mamy kombinację z powtórzeniami, utworzoną ze zbioru n elementowego. Liczba kombinacji k elementowych utworzonych z n elementów wyraża się wzorem:

V: Jeżeli ze zbioru n elementowego wybieramy ciąg k elementowy, w których elementy się nie powtarzają, to mamy wariację bez powtórzeń,. Liczba wariacji wyraża się wzorem:

W: Jeżeli ze zbioru n elementowego utworzymy ciąg k elementowy, w których elementy się mogą się powtarzać, to mamy wariację z powtórzeniami,. Liczba wariacji wyraża się wzorem:

Jeżeli elementy mogą się powtórzyć to k≤n, jeżeli muszą to k>n.

Permutacją

zbioru n elementowego nazywamy każdą funkcję różnowartościową, utworzoną ze wszystkich elementów tego zbioru.

Def. druga równoważna: Permutacją zbioru n elementowego nazywamy każde uporządkowanie tego zbioru.

Liczba permutacji zbioru n elementowego wyraża się wzorem:

P_n = n!

_{Dwumian Newtona:}

Wyrażenie tego typu możemy rozpisać jako sumę takich elementów.

Możemy go zastosować, jeżeli chcemy określić liczbę wszystkich możliwych podzbiorów zbioru n elementowego, takich by elementy w podzbiorze nie powtarzały się.

Np. liczbę podzbiorów zbioru 4 elementowego możemy zapisać jako:

Widać, że są to parametry stojące przed a i b w dwumianie Newtona. Skoro potęgi liczb a i b w tym wyrażeniu nie występują wyciągamy wniosek, że są równe 1, bo 1 do dowolnej potęgi daje 1.

(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ

Otrzymujemy wzór na liczbę możliwych podzbiorów zbioru n elementowego (w tym zbór pusty, oraz składający się ze wszystkich elementów).

Na koniec zapominalskim przypominam co to właściwie jest ten symbol Newtona ;-)

Oprac. Artur Kurnicki IV a

TAK

TAK

NIE

Uwaga! Jeżeli elementy mogą się powtórzyć to k≤n, jeżeli muszą to k>n.

Uwaga! Jeżeli n = k to mamy permutację

(k ≤ n)

k ≤ n

(n, k ∈ N i k ≤ n )

NIE

Czy elementy mogą się powtarzać?

Czy elementy mogą się powtarzać?

Czy kolejność odgrywa rolę?

TAK

NIE

---