Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg
C
γ
D δ
β
α B
A
Aby na czworokącie można było opisać okrąg, sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta muszą być równe 180°.
α + γ = β + δ = 180°
Dowód twierdzenia:
Założenie: ABCD - czworokąt wpisany w okrąg
Teza: α + γ = β + δ = 180°
Dowód:
α + γ = (∠ BAC + ∠ CAD) + (∠ BCA + ∠ ACD) (*)
Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym (kąt środkowy ma dwukrotnie większą miarę, niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku) wypływa wniosek, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe. Korzystając z tego faktu możemy zapisać:
∠ BAC = ∠ BDC
∠ CAD = ∠ CBD
∠ BCA = ∠ BDA
∠ ACD = ∠ ABD
Podstawiając za poszczególne kąty z równania (*) ich odpowiedniki oparte na tym samym łuku, otrzymamy:
α + γ = (∠ BDC + ∠ CBD) + (∠ BDA + ∠ ABD) =
= (∠ BDC + ∠ BDA) + (∠ CBD + ∠ ABD) = β + δ
Z kolei podstawiając znowu za ∠ BDC i ∠ BDA ich odpowiedniki z równania (*) otrzymamy:
β + δ = (∠ BAC + ∠ BCA) + (∠ CBD + ∠ ABD) =
= ∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ABC
Zauważmy, że ∠ BAC, ∠ BCA i ∠ ABC są kątami wewnętrznymi trójkąta ABC. Z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta (suma ta jest równa 180°) wynika:
β + δ = 180°
Zatem:
α + γ = β + δ = 180°
C.N.D.