tm5, materialy, Matematyka, matematyka - dowody


Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

0x08 graphic
C

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
γ

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
D δ

0x08 graphic

β

0x08 graphic
0x08 graphic

α B

A

Aby na czworokącie można było opisać okrąg, sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta muszą być równe 180°.

α + γ = β + δ = 180°

Dowód twierdzenia:

Założenie: ABCD - czworokąt wpisany w okrąg

Teza: α + γ = β + δ = 180°

Dowód:

α + γ = (∠ BAC + ∠ CAD) + (∠ BCA + ∠ ACD) (*)

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym (kąt środkowy ma dwukrotnie większą miarę, niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku) wypływa wniosek, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe. Korzystając z tego faktu możemy zapisać:

∠ BAC = ∠ BDC

∠ CAD = ∠ CBD

∠ BCA = ∠ BDA

∠ ACD = ∠ ABD

Podstawiając za poszczególne kąty z równania (*) ich odpowiedniki oparte na tym samym łuku, otrzymamy:

α + γ = (∠ BDC + ∠ CBD) + (∠ BDA + ∠ ABD) =

= (∠ BDC + ∠ BDA) + (∠ CBD + ∠ ABD) = β + δ

Z kolei podstawiając znowu za ∠ BDC i ∠ BDA ich odpowiedniki z równania (*) otrzymamy:

β + δ = (∠ BAC + ∠ BCA) + (∠ CBD + ∠ ABD) =

= ∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ABC

Zauważmy, że ∠ BAC, ∠ BCA i ∠ ABC są kątami wewnętrznymi trójkąta ABC. Z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta (suma ta jest równa 180°) wynika:

β + δ = 180°

Zatem:

α + γ = β + δ = 180°

C.N.D.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ftryg, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TM36, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm29, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
zadanie6, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm16, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm4-2, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm3, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
zadanie18, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm35ciagi, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
Iloczynkartezjaski, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
PROSTA, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm4, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
tm2Twierdzeniecosinusw, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TM31Wartbezwzgl, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
kombinatorykaTM41, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
ZadanieTM20, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
ZBIORY, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TRYGONOMETRIA1, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
TwierdzeniecosinuswTMnr2, materialy, Matematyka, matematyka - dowody

więcej podobnych podstron