ZBIORY

ZBIÓR-pojęcie pierwotne, nie definiujemy, oznaczamy dużymi literami np. A, B, C

ZBIÓR SKOŃCZONY-ma określoną liczbę elementów np. A={1,2,3}

ZBIÓR NIESKOŃCZONY-ma nieokreśloną liczbę elementów np. A={x: x=
nє IN₊}

ZBIÓR OGRANICZONY-wszystkie elementy zawierają się między ustalonymi dwoma liczbami

ZBIÓR NIEOGRANICZONY-może być z góry lub z dołu

PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA ZBIORACH

1. SUMA ZBIORÓW

Sumą zbiorów jest zbiór, do którego należą elementy pierwszego lub drugiego zbioru.

(xє A
B)
(xєA
xєB)

2. ILOCZYN ZBIORU

Iloczynem zbiorów jest zbiór, do którego należą elementy pierwszego i drugiego zbioru.

(xє A
B)
(xєA ^ xєB)

3. RÓŻNICA ZBIORU

Różnicą zbiorów nazywamy zbiór, do którego należą elementy pierwszego zbioru nie należące do drugiego zbioru.

xє (A/B)
(xєA ^ x¢B)

4. RÓŻNICA SYMETRYCZNA ZBIORU

Różnicą symetryczną zbiorów nazywamy zbiór, którego należą elementy wyłącznie jednego ze zbiorów.

(xє A÷B)
[(xєA ^ x¢B) v (xєB ^ x¢A)]

A÷B = (A
B) / (A
B)

5. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW

Zbiór A jest zawarty w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B.

(A
B)
[(xєA)
(xєB)]

6. RÓWNOŚĆ ZBIORU

Dwa zbiory są równe jeżeli mają takie same elementy.

[A=B]
[(A
B) ^ (B
A)]

(AcA) Każdy zbiór jest zawarty w sobie.

7. ZBIÓR PUSTY

Zbiór pusty, to zbiór, który nie posiada elementów.

8. ZBIORY ROZŁĄCZNE

Nie mają części wspólnych.

9. PARA UPORZĄDKOWANA

Parą uporządkowaną nazywamy zbiór dwóch elementów, w którym wyróżniona jest kolejność.

10. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Jest to zbiór par uporządkowanych, taki że jeden element należy do pierwszego zbioru, a drugi element do drugiego zbioru.

A
B = { (a,b): aєA ^ bєB }

UWAGA I : Iloczyn kartezjański nie jest przemienny

UWAGA II: Zapis płaszczyzny

IR
IR = IR² = { (x,y) : xєIR ^ yєIR }

PRAWA DE MORGANA DLA RACHUNKU ZBIORU

( A
B )' = A'
B'

( A
B )' = A'
B'

RODZAJE PRZEDZIAŁÓW

1.WŁAŚCIWE

• Obustronnie otwarty

( a, b ) = {xє IR : a < x < b }

• Prawostronnie domknięty

( a, b > = {xє IR : a < x ≤ b }

• Lewostronnie domknięty

< a, b ) = {xє IR : a ≤ x < b }

• Obustronnie domknięty

< a, b > = {xє IR : a ≤ x ≤ b }

2.NIEWŁAŚCIWE

• ( a, ∞ ) = {xє IR : a< x < ∞ }

• < a, ∞ ) = {xє IR : a ≤ x < ∞}

• ( -∞‚ a ) = {xє IR : -∞ < x < a }

• (-∞, a ) = {xє IR : -∞ < x ≤ a }

KRESY ZBIORÓW

1.KRES GÓRNY ZBIORU (supremum) [sup]

Kresem górnym zbioru o ile istnieje (=jeśli należy do zbioru) nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru.

2.KRES DOLNY ZBIORU (infinum) [inf]

Kresem dolnym zbioru o ile istnieje nazywamy największe z ograniczeń dolnych tego zbioru.

UWAGA! Kres zbioru może (nie musi) należeć do zbioru

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

DZIAŁANIEM DWUARGUMENTOWYM w zbiorze A nazywamy przyporządkowanie każdej parze uporządkowanej elementu z tego zbioru

(a, b) є A

1) Jeżeli spełnione są następujące warunki:

a*b = b*a

to działanie nazywamy PRZEMIENNYM

2) Jeżeli spełnione są następujące warunki:

(a*b)*c = a*(b*c)

to działanie nazywamy ŁĄCZNYM

3) ELEMENT NEUTRALNY [e]

a*e = e*a = a

4) ELEMENT PRZECIWNY [
]

a*
=
*a = e

Element przeciwny nie istnieje dla mnożenia

5) PRAWO ROZDZIELNOSCI

a*(b#c) = (a*b) # (a*c)

ZADANIA MATURALNE 26

Opracowała:

Hanna Jakubowska

Klasa IVa

---