Temat nr 8

Twierdzenie o kącie środkowym

Definicja

Kątem środkowym w danym okręgu nazywamy dowolny kąt, którego wierzchołkiem jest środek tego okręgu.

Kątem wpisanym w okrąg nazywamy każdy kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a każde ramię ma prócz wierzchołka jeszcze jeden wspólny punkt z okręgiem.

Mówimy, że kąt środkowy lub wpisany opiera się na łuku AB, jeśli ten łuk jest częścią wspólną kąta i danego okręgu.

Twierdzenie

Kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku danego okręgu.

Dowód

Przypadek I. Przypuśćmy, że jedno z ramion kąta wpisanego przechodzi przez środek okręgu.

W trójkącie AOC kąt przy wierzchołku O jest równy 180^o -
AOB (kąty przyległe).

Trójkąt AOC jest równoramienny, więc kąty przy podstawie AC ma równe. Ponieważ suma tych kątów wynosi

180^o -
AOC = 180^o - (180^o -
AOB) =
AOB

więc
ACB =

AOB.

Przypadek II. Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego w ten okrąg.

Poprowadźmy półprostą CO; przecina ona okrąg w punkcie D dzieląc dany kąt wpisany na dwa kąty wpisane ACD, DCB oraz kąt środkowy oparty na łuku AB i na dwa kąty środkowe AOD, DOB. Ponieważ półprosta CD przechodzi przez środek okręgu, więc mamy do czynienia z dwoma kątami wpisanymi, które spełniają warunki podane w powyższym przypadku I. Wobec tego

ACD =

AOD,
DCB =

DOB, więc w konsekwencji

ACB =
ACD +
DCB =
AOD +
DOB =
(
AOD +
DOB) =

AOB.

Przypadek III. Środek okręgu leży poza kątem wpisanym w ten okrąg.

Poprowadźmy półprostą CO; przecina ona okrąg w punkcie D wyznaczając kąty wpisane ACD, BCD oraz odpowiadające im kąty środkowe AOD, DOB. Ponieważ półprosta CD przechodzi przez środek okręgu, więc mamy do czynienia z dwoma kątami wpisanymi, które spełniają warunki podane w powyższym przypadku I. Wobec tego

ACD =

AOD,
DCB =

DOB, więc w konsekwencji

ACB =
ACD -
DCB =

AOD -

DOB =
(
AOD -
DOB) =

AOB.

A

C

B

O

O

A

C

A

B

C

D

B

O

D

A

C

O

B

---