Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian (Twierdzenie Bézouta)

1. Definicja pierwiastka wielomianu:

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(a) = 0:

x₀ = a <=> W(a) = 0

2. Zapis wyniku dzielenia wielomianów:

Jeżeli Q(x) dzieli W(x) z resztą R(x) i wynikiem dzielenia jest P(x):

P(x) reszta R(x)

To wynik takiego dzielenia możemy zapisać tak:

W(x) = P(x)Q(x) + R(x)

3. Twierdzenie Bézouta:

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a)

W(a) = 0 <=> W(x) = P(x)(x-a)

Innymi słowy, aby liczba a była pierwiastkiem wielomianu W(x) reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a) musi być równa 0:

W(x) = P(x)Q(x) + R(x)

Q(x) = x-a

R(x) = 0

W(x) = P(x)(x-a) + 0

W(x) = P(x)(x-a)

4. Dowód twierdzenia:

Zwróćmy uwagę, że twierdzenie wyrażone jest w formie równoważności logicznej, więc należy udowodnić w rzeczywistości 2 twierdzenia (rozbijamy równoważność na dwie implikacje):

1. W(a) = 0 => W(x) = P(x)(x-a)

2. W(x) = P(x)(x-a) => W(a) = 0

a)

Założenie: W(a) = 0

Teza: R = 0, przy czym W(x) = P(x)(x-a) + R

Dowód

W(x) = P(x)(x-a) + R

Wyliczmy W(a):

W(a) = P(a)(a-a) + R

W(a) = P(a)*0 + R

W(a) = R

Na mocy naszego założenia W(a) = 0, zatem:

R = 0

C.N.D.

b)

Założenie: R=0, przy czym W(x) = P(x)(x-a) + R

Teza: W(a) = 0

Dowód:

Z założenia:

W(x) = P(x)(x-a) + 0

W(x) = P(x)(x-a)

Wyliczmy z tego wzoru W(a):

W(a) = P(a)(a-a) = P(a)*0 = 0

W(a) = 0

C.N.D.

Ponieważ prawdziwe są obydwie implikacje (a i b) to ich koniunkcja jest również prawdziwa. A ponieważ koniunkcja implikacji to równoważność, prawdziwe jest twierdzenie Bézouta.

C.N.D.

5. Zastosowanie twierdzenia Bézouta:

Chociaż o tym nie wiemy, za każdym razem, kiedy znajdujemy pierwiastki wielomianu, korzystamy z twierdzenia Bézouta.

Weźmy taki przykład:

Polecenie: Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) = 2x³ - x² - 5x - 2.

Rozwiązanie:

Korzystając np. ze schematu Hornera znajdujemy pierwiastek 2. Zapiszmy teraz W(x) w postaci iloczynowej:

W(x) = (2x² + 3x + 1)(x - 2)

Po podzieleniu W(x) przez (x-2) otrzymamy (2x² + 3x +1) - trójmian o wyróżniku ujemnym. A ponieważ trójmianu o ujemnej „delcie” nie możemy rozbić na dwumiany, więc nie będzie on podzielny przez żaden dwumian.

Podzielność wielomianu przez dwumian (x-a) jest (z twierdzenia Bézouta właśnie) warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby wielomian ten miał pierwiastek a.

A skoro W(x) jest podzielny tylko przez (x-2) to W(a) = 0 tylko dla a = 2. Innymi słowy, W(x) ma dokładnie jeden pierwiastek równy 2.

---