Temat maturalny nr 22

WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Do udowodnienia własności prawdopodobieństwa posługujemy się aksjomatami prawdopodobieństwa:

1.º P(A) ≥ 0

2.º P(
) = 1

3.º P (A჈B) = P(A) + P(B) მ (AჇB) = ჆

Własności:

1. P(჆) = 0

Dowód:

(჆ ჈
) =
჆ Ⴧ
=჆

P(
) = P (჆ ჈
)

ჟ ჟ

2ş 3ş

1 = P(჆) + P(
)

1 = P(჆) + 1

P(჆) = 0 c. n. d.

2. P(A') = 1 - P(A)

Dowód:

A჈A' =

P(ၶ) = P(A჈A') AჇA' = ჆

ჟ2ş ჟ3ş

1= P(A) + P(A')

P(A') = 1 - P(A) c. n. d.

3. A჌B => P(A) ≤ P(B)

A Ⴧ (B\A) = ჆

P(B) = P(A) + P(B\A) ≥ P(A)

≥ 0 na pdst. 1º

P(B) ≥ P(A) c. n. d.

3. P(A჈B) = P(A) + P(B) - P(AჇB)

Uwaga: własność ta jest uogólnieniem aksjomatu 3º

B = (BჇA) ჈ (B\A)

(BჇA) Ⴧ (B\A) = ჆ zbiory są rozłączne

P(B) = P(AჇB) + P(B\A) stosujemy 3º bo zdarzenia się wykluczają

P(B\A) = P(B) - P(AჇB)

A჈B = A჈(B\A) oraz AჇ(B\A) = ჆

P(A჈B) = P(A) + P(B\A)

P(A჈B) = P(A) + P(B) - P(BჇA) c. n. d.

B

B = A ჈ (B\A)

A

A

B

podstawiamy pod P(B\A)

---