Zadanie 16 (n-ty wyraz ciągu arytmetycznego)

Definicja: Ciąg liczbowy
nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba r, że dla każdego n (gdy ciąg jest nieskończony), zaś dla każdego
(gdy ciąg jest skończony, k-wyrazowy,
) spełniony jest warunek:

[A]

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r > 0, natomiast malejący, gdy r < 0.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

[B]

Dowód indukcyjny:

1. dla n = 1 wzór jest prawdziwy, gdyż po obu jego stronach mamy wówczas

2. załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnej liczby n (n ≤ k - 1, gdy ciąg jest k-wyrazowy)

zgodnie z warunkiem [A] mamy:

więc:

Liczby
i
określają ciąg arytmetyczny w zupełności.

QED

Przykład:

Wiadomo, że
i r = 2. Obliczyć
.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru [B]

Odp.: 3943.

Uwaga:

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego (i gdy ciąg jest skończony - ostatniego) jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego:

[C]

---