Laskowska Małgorzata kl.IV G nr 15

Funkcja kwadratowa, wzory, postacie, pierwiastki, dyskusja ilości i jakości pierwiastków w zależności od parametru.

FUNKCJA KWADRATOWA (zwana trójmianem kwadratowym), jest to funkcja typu f(x)=a*x²+b*x+c - postać ogólna funkcji kwadratowej. Współczynniki a, b i c są konkretnymi liczbami, przy czym a<>0 (gdy jest równe zero to mamy funkcję liniową). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Natomiast dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Aby obliczyć miejsca zerowa funkcji kwadratowej należy obliczyć najpierw tzw. wyróżnik funkcji kwadratowej oznaczany symbolem  (delta). Wyróżnik ten wyraża się wzorem =b²- 4*a*c. Teraz w zależności od znaku delty mamy konkretną liczbę pierwiastków (miejsc zerowych), mianowicie:

1. gdy >0 (delta jest dodatnia) - są dwa miejsca zerowe wyrażone wzorami:
   
   

2. gdy =0 (delta jest równa zero) - jest jedno miejsce zerowe wyrażone wzorem:
   
   

3. gdy <0 (delta jest ujemna) - nie ma rozwiązań (brak miejsc zerowych).

Istnieją trzy postacie funkcji kwadratowej:

1. 
   
   postać ogólna - f(x)=a*x²+b*x+c dla a≠0

2. postać kanoniczna - f(x)=a*(x - p)²+q gdzie p= i q = - - w tej postaci mamy jawnie podane współrzędne wierzchołka paraboli W(p , q)

3. postać iloczynowa - f(x)=a*(x - x₁)*(x - x₂) - w tej postaci mamy jawnie podane miejsca zerowe funkcji kwadratowej; gdy (Δ =0) postać iloczynowa wyraża się wzorem f(x)=a*(x - x₀)²; gdy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (<0) to nie istnieje postać iloczynowa.

• Równanie postaci a*x²+b*x+c=0, gdzie a≠0 i a,b,c∈R nazywamy równaniem kwadratowym.

• Jeżeli a*b*c≠0, to równanie kwadratowe a*x2+b*x+c=0 nazywamy zupełnym.

• Jeżeli a≠0 i (b=0 lub c=0), to równanie kwadratowe nazywamy niezupełnym

Od współczynnika a zależy w którą stronę skierowane są ramiona paraboli:

1. a>0 (dodatnie) - ramiona skierowane w górę, wierzchołek jest minimum funkcji.

2. a<0 (ujemne) - ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest maksimum funkcji.

Gdy funkcja kwadratowa posiada dwa pierwiastki x₁ i x₂ równania kwadratowego a*x²+b*c+c=0, gdzie a≠0 i Δ≥0 to prawdziwe są następujące wzory Viete'a:

1. Suma pierwiastków - x₁+x₂=

2. 
   Iloczyn pierwiastków - x₁*x₂=

Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od parametru a i wyróżnika :

---