4.1 Iloraz różnicowy funkcji

Przykład 1

Obliczyć iloraz różnicowy dla funkcji f(x)=x² w punkcie x₀=-1 odpowiadający przyrostowi Δx=0,1.

Przykład 2

Obliczyć iloraz różnicowy dla funkcji f(x) = log₂(x) w punkcie x₀ =1 odpowiadający przyrostowi Δx = -0,2.

Uwaga:

Wartość logarytmu z 0,8 o podstawie 2 w programie Mathcad:

log(0.8,2) = -0.322

4.1 Iloraz różnicowy funkcji

Przykład 3

Obliczyć iloraz różnicowy dla funkcji f(x) = ln(x) w punkcie x₀=1 odpowiadający przyrostowi Δx = -0,2.

Uwaga: Wartość logarytmu naturalnego z 0,8 w programie Mathcad

log(0.8,e) = -0.223, ln(x) ≡ log_e(x)

Przykład 4

Obliczyć iloraz różnicowy dla funkcji f(x)=lg(x) w punkcie x₀=1 odpowiadający przyrostowi Δx=-0,2.

Uwaga: Wartość logarytmu dziesiętnego z 0,8 w programie Mathcad

log(0.8,10) = -0.087, log(x) ≡ lg(x)

4.2 Pochodna właściwa funkcji funkcji

Obliczanie pochodnej w punkcie wprost z definicji

Przykład 1 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

Przykład 2 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

4.2 Pochodna właściwa funkcji funkcji

Obliczanie pochodnej w punkcie wprost z definicji

Przykład 3 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

Przykład 4 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

4.2 Pochodna właściwa funkcji funkcji

Obliczanie pochodnej w punkcie wprost z definicji

Przykład 5 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

Przykład 6 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

4.2 Pochodna właściwa funkcji funkcji

Obliczanie pochodnej w punkcie wprost z definicji

Przykład 7 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

Przykład 8 Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie x₀

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Reguły różniczkowania

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Reguły różniczkowania

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodna funkcji złożonej

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodna funkcji złożonej

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 5 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 1 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f^-1)′(y) dla f(x)=e^x, gdzie x∈R.

Przykład 2 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f^-1)′(y) dla f(x)=ctg(x), gdzie x∈(0,π).

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 3

Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć

(f^-1)′(3) ∧ f(x) = x⁵ + x + 1.

Zauważmy najpierw, że funkcja f jest ciągła i rosnąca na R.

Ponadto f(1) = 1⁵+1+1 = 3.

Stąd wynika, że 1 jest jedynym rozwiązaniem równania:

x⁵ + x + 1 = 3

Funkcja f spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.

Zatem mamy:

Przykład 4

Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć

(g^-1)′(1) ∧ g(x) = 2e^3x - e^-x.

Zauważmy najpierw, że funkcja g jest ciągła i rosnąca na R.

Ponadto g(0) = 2e⁰ - e⁰ = 2-1 = 1.

Stąd wynika, że 1 jest jedynym rozwiązaniem równania:

2e^3x - e^-x = 1

Funkcja g spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.

Zatem mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych niejawnie

Przykład 1 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

Przykład 2 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych niejawnie

Przykład 3 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

Przykład 4 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych parametrycznie

Przykład 1 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

Przykład 2 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych parametrycznie

Przykład 3 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

Przykład 4 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji potęgowo-wykładniczych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji:

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji potęgowo-wykładniczych

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji:

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji:

4.6 Pochodne wyższych rzędów

Przykład 1 Obliczyć drugą pochodną funkcji y=arcsin(x)

Przykład 2 Obliczyć drugą pochodną funkcji

4.6 Pochodne wyższych rzędów

Przykład 3 Która pochodna funkcji y=2x⁶-x³+2x-3 jest równa 0?

Przykład 4 Obliczyć czwartą pochodną funkcji y=x²sin(2x) w

- 24 -

---