GRANICE FUNKCJI

Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

Niech funkcja

będzie określona dla x takich, że 0<|x-x₀|<a, a>0

Liczbę
nazywamy GRANICĄ FUNKCJI
w
jeżeli

Piszemy wtedy

lub
przy

Interpretacja geometryczna funkcji

Dla

WŁASNOŚCI FUNKCJI POSIADAJĄCYCH GRANICĘ:

1. Funkcja
   posiada w
   co najmniej jedną granicę

2. Niech funkcja
   będzie określona dla
   takich, że
   ,
   

na to by funkcja
posiadała granicę
w
, potrzeba i wystarcza, by dla każdego
takiego, że
zbieżnego do
ciąg wartości funkcji
był zbieżny do
.

3. Jeżeli funkcja
   są określone w pewnym sąsiedztwie
   oraz posiada

granicę w
to, funkcja

posiada granicę w
oraz

Jeżeli ponadto
to i iloraz
posiada granicę w
oraz

4. Jeżeli funkcja
   oraz
   posiadają granicę w
   oraz
   

dla
,
to

5. Twierdzenie o 3 funkcjach

Jeżeli funkcja
oraz
posiadają granicę
w
, oraz funkcja
jest określona i spełnia nierówność
w pewnym sąsiedztwie
, to

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

. Mówimy, że funkcja
ma granicę prawostronną w
jeżeli istnieje liczba
spełniająca warunek

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

. Mówimy, że funkcja
ma granicę lewostronną w
jeżeli istnieje liczba
spełniająca warunek

Piszemy wtedy

TWIERDZENIE 1

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

.

Funkcja
ma granice
w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy
posiada w
obie granice jednostronne

równe sobie
i równe
.

Skończoną granicę
funkcji
w
nazywamy granicą właściwą.

W przypadku funkcji nieograniczonej
w otoczeniu lub sąsiedztwie
, takich przy
mówimy o granicach niewłaściwych.

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

.

Mówimy, że
posiada w
granicę

• 
  jeżeli:
  

Piszemy wtedy

• 
  jeżeli:
  

Piszemy wtedy

Podobnie jak dla granic skończonych można określić granice niewłaściwe jednostronne

Np. Funkcja
określona na przedziale
mamy,

Granice niewłaściwe przy
definiujemy następująco

TWIERDZENIE 2

1. Jeżeli
   

to

2. Jeżeli
   

to

3. Jeżeli
   

to

TWIERDZENIE O GRANICACH SUPERPOZYCJI FUNKCJI

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

a funkcja
będzie określona dla
takich, że

Jeżeli

przy czym funkcja
nie przyjmuje wartości
dla
takich, że

to

TWIERDZENIE BOLZANO-COUCHY'EGO

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

. ( lub
)

Na to, by funkcja
posiadała skończoną granicę przy
( lub
) potrzeba i wystarcza, by był spełniony warunek

(
)

1

---