Mechanika ogolna0088

()sliilec/,inc równanie I ,np,riingc'n opisiijncc zjawisko melin ukliulil będzie* na-Niknij ii.ec:

czyli przyspieszenie kątowe bryły 1 układu wynosi:

Przykład 32

Mamy układ mechaniczny złożony z krążka i wodzika połączonych ze sobą sprężyną o sztywności k. Krążek porusza się ruchem płaskim po chropowatej i odkształcalnej sprężyście powierzchni poziomej. Na wodzik działa siła zewnętrzna G (rys. 107). Opisać zjawisko ruchu, wykorzystując równania La-grange’a, przy założeniu, że masy obu brył są znane.

Dane:

G [N],

Rys. 107

dzik [N],

r - promień krążka [m], p - współczynnik tarcia suchego krążka, f- współczynnik tarcia toczenia krążka [m].

Krążek może się przemieszczać niezależnie od ruchu wodzika, układ posiada więc dwa stopnie swobody. Za współrzędne uogólnione układu przyjmiemy odpowiednio przemieszczenia punktów A i B brył:

=x_A.

O2 ~ ^XB>

prędkości uogólnione wynoszą:

0i =*_A.

Ó2 ⁼ *B-

Określmy zależności kinematyczne. Krążek jest w ruclm płaskim, tak więc:

r

r

Dostaniemy energię kinetyczną układu:

Moment bezwładności krążka wynosi:

I_B=-m₂-r²=-Ł.r².

^B 2    ²    2-g

Uwzględniając powyższe zależności kinematyczne, mamy:

E-^-x²+|^-x² =E(x_a,x_b).

Energia kinetyczna jest funkcją dwóch prędkości uogólnionych. Korzystając z przykładu 29 (rys. 104), określimy siły uogólnione układu:

Qi =G~k(x_A-x_B^

Q₂ =-k(x_B-x_A)-P^.

Wyznaczmy teraz poszczególne składowe równań Lagrange’a:

óx_A ’

_SE_₌:ą. ^dE _ ^{3 p}2 -9x_a 8 ^XA’ 2*b ² 8 ^X

Podstawiając do równań Lagrange’a, będziemy mieli: