CCF20090513020

I. Indukcja i wyjaśnianie

„ponurym żartem". Proponuję jednak, wzorem Zagłoby, potraktować dowcip z należni} mu atencji}. Weźmy na przykład słynną już hipotezy, że wszystkie kruki są czarne. Załóżmy, że jest ona potwierdzona przez liczne obserwacje czarnych kruków. Konsekwencją tej hipotezy jest między innymi hipoteza, że wszystkie kruki zamieszkujące wyspę Hula-Guła są czarne. Gdyby tak się złożyło, że na wyspie Hula-Guła do tej pory nigdy nic obserwowano barwy upierzenia kruków, bo na przykład żadna ekspedycja naukowa tam jeszcze nie dotarła, powstałaby sytuacja, w której konsekwencja hipotezy potwierdzonej indukcyjnie sama nic ma indukcyjnego potwierdzenia.

Paradoks przechodniości uzmysławia nam nader wyraźnie, że rozumowanie indukcyjne polega zasadniczo na projekcji, czyli rzutowaniu, wyników obserwacji na przypadki dotąd niezaobserwowane, na przykład wyników obserwacji kruków nad Wisłą na kruki na wyspie Hula-Guła. Z projekcyjną naturą indukcji łączy się sformułowany przez Nelsona Goodmana³⁹ paradoks „zielbieskości” (grue). Brzmi on następująco: każda obserwacja potwierdzająca hipotezę „Wszystkie szmaragdy są zielone" potwierdza zarazem hipotezę „Wszystkie szmaragdy są zielbieskie", gdzie „zielbicskie” znaczy: „zielone do chwili l, a niebieskie potem”, gdzie / jest jakąś ustaloną chwilą w przyszłości, na przykład w roku 2050"’. Ponieważ zaś nie ma z góry ustalonych granic wynalazczości nowych predykatów, każde świadectwo empiryczne potwierdza nieskończenie wiele niezgodnych ze sobą hipotez alternatywnych.

Rozwiązanie Goodmana polega na rozróżnieniu predykatów na rztt to walne lub projekcyjne (projectible), jak kto woli, i nierzu-towalne, czyli nieprojekcyjne. O predykacie mówimy, że jest rzuto-walny, jeżeli nadaje się do formułowania uogólnień indukcyjnych, to jest rzutowania przypadków zaobserwowanych na przypadki niezaobserwowane. „Zielony” jest predykatem rzutowalnym, ponieważ zieloność zaobserwowanych szmaragdów można rzutować na szmaragdy niezaobserwowane. Natomiast „zielbieski” nie jest predykatem rzutowalnym. Powstaje pytanie, skąd można wiedzieć,

⁵⁹ Zob. N. Goodman, Fact, Fiction, and Forecast, Cambridge, MA 1954.

⁹⁰ W oryginale była mowa o roku 2000, a więc przykład oryginalny się zdezaktualizował.

1. Nauka jako wiedza prawdopodobna

które predykaty są r/.utowalnc, a które nie. Odpowiedź Goodmana jest czysto pragmatyczna: za rzutowalne należy uznać predykaty zakorzenione (entrenched) w naszej praktyce indukcyjnej. Trudno jednak uznać tę propozycję za ostateczne rozwiązanie problemu. Historia nauki zna przypadki eliminacji mocno zakorzenionych predykatów, na przykład „znajdować się w (absolutnym) spoczynku", oraz wprowadzania całkiem niezakorzenionych, w rodzaju fantazyjnych „kolorów” i „zapachów” kwarków. Jednak rozróżnienie Goodmana podpowiada kierunek poszukiwania rozwiązania paradoksu kruków: można podejrzewać, że predykaty „nieczarny” i „niekruk”, występujące w „hipotezie" „wszystkie nicczarne przedmioty są niekrukami”, są nierzutowalne.

Jeszcze raz o niedookreśleniu teorii przez dane empiryczne

Paradoks „zielbieskości” jest jedną z ilustracji wspomnianej w rozdziale I, p. 1 tezy o niedookreśleniu teorii przez dane empiryczne (underdełermination thesis). Głosi ona, że dowolny skończony zbiór danych jest zgodny z nieskończoną liczbą alternatywnych hipotez, a więc dostarcza im indukcyjnego potwierdzenia. Inną ilustracją tej tezy jest paradoks doboru krzywej (curve-fitting para-clox), o którym również była mowa. W gruncie rzeczy wszystkie te paradoksy ujawniają niejednoznaczność projekcji, to znaczy fakt, że dokonując uogólnień indukcyjnych, musimy dokonać wyboru tych elementów obserwowanej sytuacji, które będziemy rzutować na niezaobserwowane przypadki. Powstaje kłopotliwe pytanie, czym należy się kierować przy tym wyborze.

Paradoks

sylogizmu

probabilistycznego

Paradoks przechodniości ma również wersję probabilistyczną w postaci paradoksu sylogizmu probabilistycznego. Mianowicie: jeżeli A wysoce potwierdza B i B wysoce potwierdza C, to znaczy P(C|B) ~ 1, P(Z?|A)«: 1, należałoby oczekiwać, przez analogię do zasady przechodniości implikacji (jeżeli p -+ q i q -»r, top -» r), że A wysoce potwierdza C, to jest P(C|/f) » 1. Tymczasem wspomniana analogia załamuje się. Rozważmy na przykład losowanie spośród n początkowych liczb naturalnych dla jakiegoś dużego n, na przykład n = 10¹⁰. Niech A = „wylosowano 2", B = „wylosowano liczbę pierwszą”, C = „wylosowano liczbę nieparzystą”. Wówczas prawdopodobieństwo, że wylosowano liczbę nieparzystą pod warunkiem, że wylosowano liczbę pierwszą, jest bardzo wysokie, bo tylko jedna liczba parzysta (2) jest liczbą pierwszą. Prawdopodobieństwo, że wylosowano liczbę pierwszą pod warunkiem, że wylo-