CCF20090514021

146

II. Struktura nauki

i a * 1, z liczby dodatniej b nazywa się liczba c taka, że a^c = b". Szczególnym, i interesującym, przypadkiem definicji kontekstowej jest definicja przez abstrakcję. Ma ona formę zdania, które mówi, że dwa przedmioty mają tę samą, taką-a-taką własność wtedy i tylko wtedy, gdy pozostają do siebie w pewnej relacji równoważnościowej¹. Symbolicznie: [PM <-> P(y)] <-*■ -*Rv. Na przykład gdy P oznacza pewien kierunek, a R relację równoległości, otrzymujemy kontekstową (przez abstrakcję) definicję kierunku: „Dwie proste mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy, gdy są równoległe".

W wielu wypadkach, gdy trzeba zdefiniować pojęcie o nieskończonym zakresie, do którego należą różnorodne przedmioty, najlepiej nadaje się do tego definicja rekurencyjna (indukcyjna). Składa się ona z warunku wyjściowego, który definiuje to pojęcie wprost dla jakiegoś jednorodnego zbioru przedmiotów, i warunku indukcyjnego, który podaje przepis, jak, w kolejnych krokach (nieskończenie wielu), rozszerzać tę definicję na inne przedmioty. Przykładem może być definicja formuły poprawnie zbudowanej języka rachunku predykatów pierwszego rzędu: „(1)P(/,, ..., tj, gdy P jest predykatem tt-argumentowym, L stałą lub zmienną indywiduową, i = 1,2, ..., n, n e N, jest formułą poprawnie zbudowaną²; (2) gdy A i B są formułami poprawnie zbudowanymi, \.oAvB,AaB,A->B,A*-*B, ->A, 3xA, Vx4 są formułami poprawnie zbudowanymi".

Mówi się też niekiedy, że pojęcia pierwotne teorii też są w pewien sposób zdefiniowane, mianowicie za pomocą definicji przez postulaty. Znaczy to, że aksjomaty teorii razem wzięte kontekstowo określają znaczenie pojęć pierwotnych. Przykładem stosowanym w tej książce jest pojęcie prawdopodobieństwa (por. rozdz. I, p. 2).

Oczywiście, definicji używa się nic tylko w matematyce, ale wszędzie tam gdzie nieostrość albo wieloznaczność pojęć może być kłopotliwa. Może być na przykład źródłem błędu ekwiwokacji, który polega na użyciu w przesłankach rozumowania tego samego terminu w różnych znaczeniach, co często prowadzi do dziwacznych wniosków. Na przykład „Każdy dowód jest ciągiem zdań. Na ' noblem redukcji terminów teoretycznych a definiowanie pojęć

147

miejscu przestępstwa policja zabezpieczyła dowody. Stąd wynika, /<• na miejscu przestępstwa policja zabezpieczyła ciągi zdań". Brak '.cisłej definicji może powodować jałowe, czysto werbalne spory. Na przykład czy Demokryt był pierwszym materialistą w historii lilozofii, czy może był nim już Tales. Zdefiniowaliśmy do tej pory wiele pojęć, choć tylko w kilku przypadkach zostały one wyraźnie wyodrębnione z tekstu i opatrzone stosowną etykietką, i wiele pojęć w dalszym ciągu zdefiniujemy, także i tych, którymi do tej pory posługiwaliśmy się bez wyraźnej definicji.

Definicje sprowoida proJekiuJi)i I ie<]ult(Jqc<

Definicje dzielą się na sprawozdawcze, projektujące i regulujące. I )elinicje sprawozdawcze mają na celu zdać sprawę ze znaczenia, w jakim faktycznie danego słowa się używa. Spotykamy je główne w słownikach. Na przykład „Teoria = pomysł lub zespół pomysłów, który ma na celu wyjaśnienie czegoś na temat życia lub świata, zwłaszcza taki, którego prawdziwości dotąd nie udowodniono"¹’. W nauce, a już szczególnie w matematyce, przeważają definicje p r oj e k t u j ą-ce, które wprowadzają nowy termin i ustalają jego znaczenie. Definicje regulujące mają pośredni charakter: modyfikują potoczne znaczenie (lub jedno z kilku potocznych znaczeń) danego słowa, po to by jego znaczenie uściślić i dostosować do celów danej dyscypliny¹', laki charakter ma na przykład przytoczona na początku rozdziału definicja teorii, która na użytek naszych rozważań wyklucza z zakresu tego pojęcia teorię debiutów szachowych^{3 4 5}, przymusów brydżowych⁶, teorię wiecznych powrotów, spiskową teorię dziejów i tym podobne.

Błędy

definiował

Definicje sprawozdawcze są błędne, gdy są nieadekwatne, to znaczy niedokładnie określają znaczenie danego pojęcia. Przytoczona ze słownika Longmana definicja teorii jest nieadekwatna, bo nie stosuje się do teorii matematycznych ani do teorii debiutów szachowych czy przymusów brydżowych. Definicje projektujące i regulujące nie mogą być

1

   Relacja R określona na zbiorze Z nazywa się równoważnościową wtedy i tylko wtedy, gdy jest (1) zwrotna, (2) symetryczna i (3) przechodnia, to jest dla dowolnych x, y, z e Z (1) a'Rv, (2) aRv -* yRx, (3) ,vRv a yRz -* aRz. Na przykład relacja równoległości prostych albo przystawania figur.

2

   Dla uproszczenia zakładam, że w języku nie występują symbole funkcyjne.

3

   Według Longinem Dictionary of Conlemporary English, Essex 2000.

4

   Wielu autorów traktuje definicje regulujące jako odmianę definicji projektujących, nazywając pozostałe definicje projektujące konstrukcyjnymi.

5

   Debiutem nazywa się początkowa faza gry, którą kończy rozwinięcie wszystkich figur.

6

   Gracz jest w przymusie, gdy dowolna jego zrzutka wyrabia przeciwnikowi lewę. Skądinąd teorię przymusów prawdopodobnie dałoby się przedstawić jako dedukcyjnie domknięty zbiór zdań odpowiednio zdefiniowanego języka. W niczym jednak by się to nie przyczyniło do zrozumienia strategii i taktyki gry w biydża. Toteż takie zadanie, przy całym szacunku dla wszelkich zasad logiki, można byłoby podjąć jedynie dla żartu.