Cialkoskrypt9

116 2. Statyka płynów

Do wyznaczenia położenia środka parcia potrzebne są momenty bezwładności dla koła (rys. 2.36). Wyznaczamy je z następujących zależności:

I_nc = Ję²dA= ] Jp²cos²(ppdpd(p= ]p³dp    dcp = -Ur⁴,

A    0 0    0    0    ^

^T4n_c ⁼ jVl^{dA =} { Jp² cos (psin cppdpd(p = |p³dp J-—d(p = 0.

o o

W przypadku osi symetrii moment dewiacyjny jest równy zeru. Ostatecznie współrzędne środka parcia dla koła są następujące:

Ttr

T

^zp⁼^ = ^{h +} -^7 = ^{H +} 777’ ^{p p} Ttr H 4H ^p

Głębokość zanurzenia środka ciężkości (figury z rys. 2.35b) wyznaczymy na podstawie znajomości położenia środków ciężkości prostokąta i półkola. Ponieważ figura ma oś symetrii (wtedy r|_p = 0), wystarczy wyznaczyć tylko współrzędną Zę środka ciężkości. W układzie współrzędnych zaznaczonym na rysunku współrzędne środka ciężkości oraz pole powierzchni półkola są następujące:

u ⁴ a ^711-2

z_c, = H--r , A, =-,

^cl 3tc ¹    2

z_c2=H + r, A₂ = 4r² .

a dla prostokąta Wobec tego

Z -    ^{+ Z}c2^A2 _

^c A, + A₂

H- —rl— + (H + r)4r²

^{311 j 2}    =H + ———r,

rtr

+ 4r²

3n + 24

F = pgz_cA . dla półkola

A = Aj + A₂ = ^ + 4j r² , Moment bezwładności względem osi podziału x’

4

I

nr

4

Oś x’ przechodzi przez środek ciężkości koła. Moment bezwładności względem tej osi dla koła warto znać, bo dla połowy koła odciętej wzdłuż tej osi jest to połowa wartości momentu z całego koła. Podobnie jest w przypadku prostokąta.

t    1    2 /    ,3    «    16 4

I_2x,=---(2r)    ,

TC 16 ] 4 - + — Ir 8    3

I_x.=I_lx.+I_2x.=l -+— Ir'

Moment bezwładności całej figury względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości obliczamy z twierdzenia Steinera:

I

T1Q

= Ix--A(z_c

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, figurę (z rys. 2.35c) podzielimy na figury o prostych kształtach (prostokąt o bokach h i 2b oraz dwa trójkąty o przypro-stokątnych h, a-b). Wobec tego głębokość środka ciężkości wyznaczymy ze wzoru:

z

C

h._{2bh + 2}.li>Z^b)^h

2_3    2

(a + b)h

(a + 2b)h 3(a + b)

Moment bezwładności trapezu względem osi x tożsamej z osią r\ można policzyć jako sumę momentów bezwładności prostokąta i dwóch trójkątów. Równanie prze-ciwprostokątnej jest następujące:

- h(a-x)

(a-b) '

Moment bezwładności dla prostokąta

b h

= | |z²dzdx = —h³b,

o o

a dla trójkąta

~hx ^+2I2x ^{=-h b + 2}

Ja . ^h³(a-b)_h³(a + b)

12

6