Cialkoskrypt1

120 2. Statyka płynów

I

Do obliczeń trójkąt podzielono na dwa trójkąty prostokątne o znanych współrzędnych środka ciężkości, równych 1/3 długości przyprostokątnych. Obliczenia dla z_c nie muszą być wykonywane. Wobec tego

„ (a + b)h ( h"

F = _Pg-_r-[^H+-

Wyznaczamy najpierw momenty bezwładności względem podstawy trójkąta (względem osi x'):

I,.= fz^J "i dxdz = -i^b(z-h)d₂=-i^f^-^l ₌ (iŹŻłll, o    h i ^{[ J}    h [4    3 J 12

h^{Z 3}

następnie względem podstawy oraz osi przechodzącej przez wierzchołek trójkąta:

b _u

, —z+b    ,    ,    .

^h. ^h „    l2 ₀ 2 h.    _u2 2 .4 f. 2    2 V 2

I_xz = fz fxdxdz --— fz(z-h)²dz =----= 4-

0 a —Z-a h

^{J J}    2h^zy    2h²    12    24

a stąd momenty względem osi przechodzących przez środek ciężkości trójkąta:

I„ =I,.-A(z_c-Hf=fe⁺^!ll-lŁŁt)h-^-=^(a-^+b)h3.

- ⁿ'    ^{v c} '    12    2    9    36

_H)_(^b2~^a2)^h2 (^a + b)_h (b-3) h_ (b²-a²)h^

^^xz’

24    2

Współrzędne środka parcia są następujące

3    3

L

(a + b)h-

ą=z_p=z_c+^_ = H + - + -.    .

Az_c 3 (a + b)hf„ h

36

₂

(b²-a²)h²

= H + —+ ■

3

18 H +

h V

■n _{= T1}    72 ₌(^b-^a)f_n,^h

^{P c} Az_c 3 (a + b)h/'n _| h')    (3H + h)(,    4

Dla ćwiartki koła z rys. 2.35f współrzędne z_c, x_c środka ciężkości wyznaczamy ze wzoru:

Jz-dA J*x-dA

Wobec tego

r 2

JJpsincppdcpdp

z„=H + -^-—-= H + ^- = H + —, x_c = — .

3n ^c 3tc

tct

T

Tir'

T

Tir

F = pg — |H + —|.

Momenty bezwładności względem osi x' wynoszą odpowiednio:

n    n

r^{4 2}rl + cos2(p , 7ir⁴

¹    -—d(p =-,

2 16

t 2    ⁴ 2

I_x. = Jz²dA = | Jp² cos² (ppdtpdp = — J-

0 o

r 2    2

I_x._z = JxzdA = J|p²sicpcos(ppd(pdp = — Jsin2(pd(p = — ,

o o

Tl Ą')

Współrzędne środka parcia są następujące:

3rc

|_r⁴    _H² + — Hr + —r²

Az„

3ti Tir

4r

H + —

371

H +—r

371

ł-±V

h*\c _ 4r 1^8 971J _ r(8H + 3r)

n_P=iic+-f^^=:—-+    ₂

Az„ 3ti Tir

H +

4r

371

671 H +

4r

371

Dla figury z rys. 2.35g współrzędne środka ciężkości oraz siła parcia wynoszą: