Cialkoskrypt2

142 2. Statyka płynów

V=-7tr²h.

3

Aby wyznaczyć minimalny moment bezwładności I_min przekroju pływania, należy określić jego osie główne oraz środek ciężkości. Ponieważ przekrojem tym jest koło, nie nastręcza to trudności:

Odległości położenia środka ciężkości półkuli oraz stożka względem płaszczyzny pływania wzdłuż osi z wynoszą:

^Zpk 8¹"

z =—h ^s 4

Wartości te wynikają z następujących obliczeń:

TC

2 2x r

— 7rr³z_pk = JzdV = j JJ*pcosGp² sin 0d0d<pdr =—Jsin 20d0 Jd(pJp^dr =—27t—,

ooo

,    h 2nT^(z~^h)    f \^2h    i

— 7tr²hz_pk = |zdV =| J Jzpd(pdr=27t— — Jz(z-h)²dz =27t—

v    ooo    _Q

łf r

0 0 o    o    ²lhj >2

Wobec tego środek ciężkości bryły złożonej ze stożka i półkuli wyznaczymy ze wzoru:

^{3 2}    3 l. I 2.

7 v i 7 v — r—7tr —h —7crh ~ 2    1,2

z^v^+z.v. o -i 43    3r -h

₂ =V]*^TZ.^V. J 3

v_pk+v_s

2 ₃ 1 _2l_ — 7CT + -:n:r h

4(2r+h)

Odległość między środkiem ciężkości a środkiem wyporu

_ 3r² -h² h _ 3r² + 2rh ^{a_Zc Zp} ~4(2r + h) ⁺ 4 “ 4(2r + h) ‘

Z warunków zadania wynika, że środek ciężkości bryły znajduje się nad środkiem wyporu, wobec tego a należy brać ze znakiem minus. Ostatecznie

Jmm 4^    3r² +2rh ₌ r(3r²-h²)^ _Q

^V    -7tr²h    ⁴(^{2r + h}) 2h(2r + h) '

3

stąd wynika, że h < rVJ .

ZADANIE 2.6.43

Jednorodna długa belka o przekroju kwadratowym (b²), długości /»b(wymiar / jest w kierunku prostopadłym do rys. 2.56) i gęstości p_p pływa w cieczy o gęstości p. Określić warunki, dla jakich podane na rysunku położenia pływającej belki są stateczne.

Rys. 2.56

Rozwiązanie

Rysunek 2.56a. Pole przekroju części zanurzonej A = 112 • 2c • t -1², więc z warunku pływania mamy:

F = pgt²/ = ppgb²/ = Q,

Z rysunku wynika, że

t < —j=, czyli V 2

Podobnie jak w poprzednim zadaniu obliczamy trzy wielkości:

v = t²/ I • =-t³/

b

■fi

Przekrojem pływania jest prostokąt o wymiarach 2t i /. Minimalny moment bezwładności dla tego przekroju występuje względem osi równoległej do dłuższego boku, przechodzącej przez środek ciężkości przekroju, wielkość a we wzorze wystąpi ze znakiem minus (dlaczego?). Wobec tego

min

v

4 b

V"V2"

\

1

>0,