Cialkoskrypt2

282

4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

i ciśnienia, wyznaczyć strumień płynu przepływającego w kanale oraz obliczyć ciśnienie w punkcie A.

Rys. 4.34

Rozwiązanie

Układ równań ma postać:

1) równania zachowania ruchu (pędu)

3x

9p

9x

w kierunku osi x:    p| v_x ~~ + v_y | = -~ + F_x + jlł

'a 2

l

d²v_v 5²v,

4- ■

9x² dy² ]

w kierunku osi y: p

9v

_v 1JL _{+ V} UL _v ^x 3x ^y dy

^3v"U 3p _E

Sy^+Fy H 3x^:

³ v, 9\

3y

2) równanie zachowania ciągłości przepływu

^₊^ = o.

3x dy

Z treści zadania wynika, że siły masowe przyjmują postać:

F_x=pg i F_y'= 0.

Jako że przepływ odbywa się tylko w kierunku pionowym, składowa prędkości w kierunku y jest równa zeru i wówczas równania pędu są następujące:

4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

283

Z równania (b) wynika, że ciśnienie nie zależy od składowej y:

=> p = p(x),

o—&

dy

dp dp więc    —^ = —.

3x dx

Równanie (a) można więc zapisać w postaci:

d²v 1 (dp

~~ a~~~Pg dy² M-ydx

Po dwukrotnym scałkowaniu powyższego równania względem y otrzymamy rozwiązanie ogólne w postaci:

^v«^(y)=iS“^pg)^y2+Ciy+Cj-

Stałe Ci i C₂ z powyższego równania można wyznaczyć z warunków brzegowych:

h

^y = -    =>    ^vx=0>

h

^y~~2

v „ =0.

Po podstawieniu warunków brzegowych do rozwiązania ogólnego otrzymamy:

0 = _Lfe-p_gV +Cj —+ C₂ 8p ydx    ^l2 ²

-C.il

8p l^dx

i po odjęciu stronami uzyskamy związki:

C,-0.

Po podstawieniu stałych do rozwiązania ogólnego otrzymamy równanie opisujące rozkład prędkości w kierunku osi y w funkcji zmiany ciśnienia wzdłuż osi x:

. 2

1 — 41 ^

h² f    dp

v_x(y)=— pg —

8p V.    dx

W szczególnym przypadku, gdy ciśnienie w kierunku osi x zmienia się liniowo, wtedy

p(x) = ^Po - ^P; x + p,

oraz