Cialkoskrypt1

300 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

300 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

więc

-(-i • w₂ -cosa+ j-w₂sina)-p₂w₂A₂ - (-i * w₃ -cosa- j • w₃ •sinaj-p₃w₃A3_> stąd gdy w₃ = w₂ = w_a, to m , =p₂ -w_n(A₂ + A₃) = p_a -w_a -A_a,awi

UL

dv

dt

= m ! • w_a •cos a - m _wlol ■ w, =p_a • wj ■ A_a -cosa-m_wlot - w,,

_ dv _ P_a -w_a² >A_a - cos a - m _wlot - w, _ p_a -w* -A_a •

cos a

dt

m.

m.

Pominięcie wpływu prędkości W) wynika z tego, że W]«w_a.

Zauważmy, że przyspieszenie osiągnie największą wartość, jeżeli a = 0 (równolegle do kierunku ruchu). Dla stałej prędkości w_a masa całkowita samolotu może być traktowana jako stała, gdyż masa paliwa zużyta na hamowanie w stosunku do masy samolotu jest mała.

ZADANIE 4.13.25

Rakietę odpalono w chwili t = 0. Prędkość gazów wypływających z rakiety wynosi w_a, strumień masy m_a, a masa startowa m₀. Rakieta porusza się pionowo ku górze (rys. 4.43). Pomijając opór opływu i zakładając, że w przekroju wylotowym panuje ciśnienie otoczenia p₀, wyznaczyć przyspieszenie początkowe oraz prędkość rakiety po upływie czasu t = t_k (całkowite wypalenie paliwa).

Rozwiązanie

Dla objętości kontrolnej Q otoczonej powierzchnią Aboczna A_a równanie zachowania pędu ma postać:

J

— JpcdQ - JprdQ + Jx_ndA,    (a)

a    o. a

A = A_bocznauA_a, ć = w + v.

Po zróżniczkowaniu (według pochodnej substancjalnej) otrzymujemy:

Jj-(pć)di2+ f(pw_ndA)-c= JpFdQ+    jr_ndA,    (b)

a dt    a si    A

a po pominięciu tarcia powietrza (nie występują naprężenia styczne w wektorze x_n) mamy:

Jx_ndA = J-p- ndA = f- p₀ h *dA = -p₀ Jri - dA = 0 .    (c)

‘boczna

Rys. 4.43

Wektor sił masowych F = -k ■ g, a wektor prędkości. Przy założeniu, że wewnątrz rakiety w = 0, pierwsza całka w zależności (b) ma postać:

dt

dt

j|(pć)to = J |^(w + v) + p|-(w + v) dQ = v(t)«    + Jpdn

Po uwzględnieniu równania ciągłości przepływu

~ + div(pw) = 0, dt

jj — + div(pw) jdn = 0

lub postaci całkowej po skorzystaniu z twierdzenia Greena (przekształceniu całki objętościowej w powierzchniową)

j~ dQ = - Jdiv(pw )d£2 = - Jp ■ w • ri • dA = ~ Jpw_n • dA.

q dt    _n    A    A

Na powierzchni A_a prędkość w = w_n = w_a, a na powierzchni A^czna prędkość w_n = 0, więc

Jp-w_n - dA = J p-w_n*dA + Jp-w_n-dA = Jp-w_n-dA = m_a.

A    ^boczna

Zatem dla pierwszej całki w zależności (b) uzyskujemy: