Cialkoskrypt2

302 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

f—(pć)dQ = -v(t)-m_a + -^-m(t), m(t)= fpdft. a^t    dt    a

(d)

Dla drugiej całki (człon unoszenia) w zależności (b) mamy (w_n = 0 na powierzchni

^■boczna)-

J(P^wnd^A)-c= |(pw_ndA)-(w + v) =

= J (pw_ndA)(w + v) + J(pw_ndA)(-w + v)-k =

^boczna

= (v-w)-k- Jdm = (v - w) • k • m_a .

(e)

Pierwsza całka po prawej stronie zależności (b) przedstawia zewnętrzną siłę masową F = -k•g:

JpFd£ż = -k Jpg-d£ż = -k-g -m(t).    (f)

Teraz po złożeniu wyrażeń (d), (e) i (f) otrzymujemy:

[0_v 1

— ^v(t)• m_a +    • m(t) -k + (v(t)-w)-rii_a • k = ~k-g - m(t),

a stąd po uporządkowaniu wyrazów przyspieszenie rakiety będzie wyrażać równanie:

m(^t)*“ = m_a -w-g-m(t) dt

lub

dv _ m_a ■ w

dt m(t)

Ponieważ masa rakiety m_R nie ulega zmianie, to

-g

(g)

m

(t) = m_R +m_paliwa(t), m_a =

dm_£

dt

dm dm_p dm_,_ljwa dm

□ali

dt dt

paliwa

"dt"

‘paliwa

dt

= const = C

I:

i w wyniku całkowania otrzymujemy

m(t) = C * t + Cj.

Po przyjęciu warunków: dla t - 0 m(o) = C, =m₀,

dlat = t_k m(t) = C• t_k +C, = m₀ -m_paliwa(t = 0) = m_R

oraz

C = K-C,)/t_k =K -m„)/t_k ._E£ri»Ł,__sa!=

li,    11

(t=o)

mamy:

m

-m_R

=-----t + m₀ =m₀-m_a-t, m_a =

m_n -m,

więc równanie (g) możemy zapisać następująco:

dv m„•m

dv

dt m₀ - m_a * t

^a    -g lub — = 1.

dt

^ma-^w

1-^-t m_n

m₀-g

m_r

(h)

Dla t = 0 przyspieszenie opisuje wzór:

ll = (m_a • w-m₀ -g)/m₀ =(S-G)/m₀, dt

czyli

przyspieszenie = (siła ciągu - ciężar początkowy)/masa.

Całkowanie zależności (h) pozwala wyznaczyć prędkość ruchu rakiety. Całkując wzór (h) w granicach (0, t₀), to < t_k, otrzymujemy:

^v(t₀)-^v(o)= J|

- w

m_n - m -t

dt = w • ln •

m_f

-g‘t₀ •

(i)

o V “‘o

ZADANIE 4.13.26

Z końca rurki o długości l wypływa woda ze stałą prędkością w iiości m przez otwór o średnicy d. Pomijając wszelkie opory, wyznaczyć prędkość kątową co, z jaką obraca się rurka (rys. 4.44). Obliczenia wykonać dla m = 1 kg/s, p = 1000 kg/s, ł = 25 cm, d = 2 cm. Wyznaczyć obroty przy istniejącym momencie tarcia w łożysku.

Rozwiązanie

Równanie momentu pędu dla przepływu stacjonarnego ma postać:

(a)

J{r xć)pw_ndA = Jp(rxF)dQ+ J(rxt_n)dA,

a    n    a

Ć = u+• w = ©x r + w , w_n=w, c = co • / — w.