Elektronika W Zad cz 2 5

w Ciąiyńikl - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Zadanie 4.4

Dla trzystopniowego filtru dolnoprzepustowego RC (czyli układu inercji 3. rzędu) z

rysunku 4.4.1 należy:

1.    wyznaczyć zespoloną transmitancję napięciową (dla biegu jałowego, czyli bez obciążenia układu);

2.    przeanalizować częstotliwościowe własności filtru na płaszczyźnie zmiennej zespolonej wyznaczając współrzędne punktów' przecięcia charakterystyki z osiami-

3.    pozostawiając podaną na rysunku wartość pojemności C kondensatorów, dobrać wartość rezystancji R dla trzech jednakowych rezystorów, przy której analizowany układ współpracujący z idealnym wzmacniaczem napięciowym może generować przebieg sinusoidalny o częstotliwości 10 kHz;

4.    wyznaczyć zespoloną transmitancję prądowy filtru z rysunku 4.4.1 (w warunkach zwarcia jego wyjścia).

Rys. 4.4.1 Trzystopniowy filtr dolnoprzcpustowy RC

Rozwiązanie

Gdyby pomiędzy poszczególne ogniwa RC układu zostały włączone dwa idealne wtórniki napięciowe, to można byłoby uważać te ogniwa za oddzielone od siebie i wzajemnie się nie obciążające. Transmitancję o postaci 4.1.3 (lub 4.1.9) znanej z zadania 4.1 dla trzech identycznych ogniw można byłoby przez siebie pomnożyć i wypadkowa transmitancja napięciowa wyniosłaby:

^O'(o) = —=---r

u_m (1 + j(oRC)³

[1 + (co /?C)T²

-j 3 <irr tgitoRC)

(4.4.1)

Charakterystyka amplitudowa miałaby wtedy postać podobną do pokazanej na rysunku 4.2.3 z tym, że asymptota dla wysokich częstotliwości (kiedy to możemy już w mianowniku wyrażenia 4.4.1 wobec dużej wartości coRC pominąć 1) miałaby równanie:

(4.4.2)

k =-

1

(w RC)¹

co w podwójnym logarytmicznym układzie współrzędnych odpowiada prostej o nachyleniu -60 dB / dekadę (czyli 10-krotnemu zwiększeniu częstotliwości towarzyszy 1000-krotne zmniejszenie wartości modułu transmitancji).

Charakterystyka fazowa wyrażałaby się równaniem

cp_M = -3 arc tg(tu RC)    (4.4.3)

z którego wynika, że dla wysokich częstotliwości opóźnienie fazowe sygnału wyjściowego względem wejściowego może być bliskie wartości 3- 90° czyli 270°.

Na podstawie doświadczeń wynikających z analizy poprzednich układów możemy stwierdzić, że w rozpatrywanym przypadku (kiedy to poszczególne ogniwa RC w

W Oązynski - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

r

M

'■lL,

powered by

Mi siol

rzeczywistości się obciążają) zmianie ulega tylko przebieg charakterysty częstotliwości charakterystycznej, a powyższe wnioski dotyczące przebiegu asymptot zachowują swoją wartość. Możemy więc przypuszczać, że charakterystyka układu przedstawiona na płaszczyźnie zmiennej zespolonej będzie rozciągać się w trzech ćwiartkach układu współrzędnych (IV, III i II ćwiartce).

Ad 1. Dokładne wyrażenie opisujące transmitancję napięciową można byłoby uzyskać drogą elementarnych obliczeń, podobnych do przedstawionych w zadaniach 4.2 i 4.3 dla filtrów 2-go rzędu. Tę drogę pozostawimy zainteresowanemu Czytelnikowi, a my zastosujemy poznaną w części 3. niniejszego zbioru zadań metodę macierzy admitancyjnej. Analizowany układ zawiera cztery węzły, które oznaczono kolejnymi numerami juź na tematowym rysunku 4.4.1. Przypomnijmy, że kwadratową macierz admitancyjną o rozmiarach zależnych od liczby węzłów (tutaj macierz 4-go stopnia) tworzymy następująco:

•    do każdego z elementów Y„ leżących na przekątnej głównej macierzy wpisujemy sumę admitancji wchodzących do odpowiadającego danemu elementowi i-tego węzła;

•    admitancję łączącą węzły o numerach i i j wpisujemy ze znakiem minus do dwu elementów macierzy Ty i Yji.

Zastosowanie tego algorytmu prowadzi do uzyskania macierzy przedstawionej na rysunku 4.4.2. Przez Y oznaczono w niej admitancję Y = 1 IR.

	©		©	©
©	Y	-Y	0	0
©	-Y	2Y + jcoC	-Y	0
©	0	-Y	2Y + jcoC	- Y
©	0	0	-Y	Y + jcoC

Rys. 4.4.2 Macierz admitancyjna układu z rysunku 4.4.1

	©	©	©		©	©	©
©	-r	2Y + jcoC	-Y	©	2Y+ jcoC	- Y	0
©	0	-Y	2Y + jcoC	©	-Y	2Y + jcoC	-Y
©	0	0	-Y	©	0	-Y	Y + jcoC

Rys. 4.4.3 Podwyznacznik do obliczenia    Rys. 4.4.4 Podwyznacznik do obliczenia

dopełnienia algebraicznego Au    dopełnienia algebraicznego Au

Poszukiwane wzmocnienie obliczymy korzystając z zależności Nr 2 podanej w tabeli W3.7, przyjmując węzeł © jako wejście, a węzeł © jako wyjście układu (Podwyznaczniki potrzebne do obliczenia dopełnień algebraicznych Au i Au macierzy pokazano powyżej na rysunkach 4.4.3 i 4.4.4):

„ A_łt=__(-i)^lł4(-y>³_

A„ (-l)^M(2Y + jwC)\Y + jaiC)-Y¹(2Y + juC)-Y\2Y+ jcoC) '

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

^K{jW) = Y^} + 6K^J OtoC) + SPUgoC)² +(yo)C)³    (4'⁴⁵⁾

- 169-