Elektronika W Zad cz 2 6

W Cinżyńslci - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Dzieląc przez Y^J i podstawiając z powrotem \IY=R uzyskujemy w mianowniku postać wielomianu trzeciego stopnia dla zmiennejyi RC:

_1_

l + 6(yto/?C)+5K(ym/fC)^: +(juRC?

(4.4.6)

KU<o) =

Wielomian ten można rozłożyć na trzy czynniki, ale otrzymane 3 rzeczywiste bieguny transmitancji leżą na tyle blisko siebie, że na odpowiednich wykresach wynikające z nich asymptoty o nachyleniu -20dB/dek i -40dB/dek nie byłyby użyteczne (patrz zadania 4.2 i 4.3 dla filtrów 2-go rzędu).

Ad 2. Do znalezienia współrzędnych przecięcia charakterystyki z osiami na płaszczyźnie zmiennej zespolonej bardziej celowe jest przedstawienie mianownika transmitancji jako wyrażenia zespolonego w postaci algebraicznej:

_1_

[1-5(1oRC)²] + j[6(0)RC)-Ux)RCf\

(4.4.7)

K(jw) =

Część rzeczywista mianownika zeruje się, czyli mamy:    1 -5(wRC)² -0

dla względnej częstotliwości spełniającej zależność:

(0)RC)² =1/5    czyli dla:    (tiRC = 1/^5=0,447    (4.4.8)

Transmitancja napięciowa wyraża się wtedy liczbą urojoną i wynosi:

1

~J

-=-6-^JT-=-y'0,386

(4.4.9)

jl6(uRC)-(uRCY] 6(cn/?C)-(to/?C) co oznacza, że charakterystyka wchodzi do III ćwiartki płaszczyzny zmiennej zespolonej przecinając ujemną półoś urojoną (kąt fazowy wektora transmitancji wynosi wtedy - 90°) w punkcie o współrzędnej - 0,386.

Rys. 4.4.5 Charakterystyka aniplitudowo-fazowa filtru dolnoprzcpustowego RC 3-rzędu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Część urojona mianownika transmitancji zeruje się , czyli mamy 6u>RC-(wRCY =0 dla względnych częstotliwości o wartościach:

•    u)/?C = 0, co odpowiada modułowi transmitancji k_u = 1 dla prądu stałego;

•    (U)RC)^: =6 czyli    toflC = Vó = 2.449    (4.4.10)

W tym drugim przypadku transmitancja obliczona na podstawie (4.4.7) wynosi:

Ad 3. Ostatni wynik oznacza, że w analizowanym układzie dla jednej częstotliwości (określonej przez przyjęte wartości R i O wynoszącej:

f = Vó/₀ =    ^-— = 2,449 ■ 159 Hz = 389 Hz    (4.4.12)

^{1 J0} 2nRC 2-3,14-10³Q-10 F

napięcie wyjściowe jest co prawda stłumione 29-krotnie, ale znajduje się w fazie dokładnie przeciwnej niż napięcie wejściowe. Ten efekt jest bardzo interesujący, gdyż pozwala myśleć o zastosowaniu wzmacniacza odwracającego fazę do generacji przebiegów sinusoidalnych, w tzw. układzie generatora RC z przesuwnikiem fazowym. Suma przesunięć fazowych w układzie wzmacniacza odwracającego objętego sprzężeniem zwrotnym poprzez obwód złożony z 3-ch (lub ew. 4-ch) biernych ogniw RC wynosi 360° tylko dla jednej wybranej częstotliwości. Jeżeli zapewnimy moduł wzmocnienia wzmacniacza równy 29 (lub nieco większy) to w takim układzie nastąpi samorzutnie generacja drgań sinusoidalnych o tej wybranej częstotliwości, zależnej tylko od wartości zastosowanych elementów RC.

Aby generowane drgania miały pożądaną częstotliwość /= 10 kHz, należy odpowiednio dostosować wartość pojemności C i/Iub rezystancji R. Jeśli kondensatory C mają pozostać nie zmienione, należy na podstawie 4.4.12 zastosować rezystancje:

Vó    -n/6

2ti/’-C ⁼ 2-3,1410^jHz10^h1F

(4.4.13)

Q = 39£2

K(jo» =

W Ciąiyńskl - EU-KTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

1 1

I-5-(V6)²    -29

= -0,0345

powered by

Mi siol

(4.4.11)

a więc wyraża się ujemną liczbą rzeczywistą, co oznacza że trajektoria końcowego punktu wektora transmitancji napięciowej na płaszczyźnie zmiennej zespolonej przecina ujemną półoś rzeczywistą w punkcie o współrzędnej -0,0345.

244,9

6,28

Oczywiście gdybyśmy uznali, że wynikająca z tych obliczeń wartość R z jakichś powodów nie jest możliwa do przyjęcia, możemy przyjąć inną zmieniając jednocześnie wartość C w taki sposób, aby zachować właściwą wartość iloczynu RC. Np. można byłoby przyjąć 10-krotnie większą wartość R = 390 O, zmniejszając jednocześnie wartość C na 100 nF.

	©	©	®
©	Y	- Y	0
	-r	2Y + jcoC	-Y
©	0	-Y	2Y + jcoC

Rys. 4.4.6 Podwyznacznik do obliczenia dopełnienia algebraicznego macierzy admitancyjnej z rysunku 4.4.2

Ad 4. Transmitancję prądową w warunkach zwarcia wyjścia (tzn. węzła © z masą) obliczymy na podstawie znajomości macierzy admitancyjnej układu pokazanej na rysunku 4.4.2, korzystając z zależności Nr 4 podanej w tabeli W3.7 (Potrzebne do tych obliczeń pod wyznaczniki macierzy pokazano na rysunkach 4.4.3 i 4.4.6):

^K‘^{(M =} A^^=:(-l)**⁴[Y(2Y + j(0C)²-Y¹(2Y + j(0C)-Y³]    (4.4.14)

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

-171-