Elektronika W Zad cz 2 9

W Cięzynski - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

tylko dwa węzły i podstawić jako admitancję łączącą te węzły admitancję wypadkową szeregowego połączenia elementów R i C. Przez Y oznaczono w macierzy admitancję Y = l/R. Przy takim oznaczeniu rezystorowi R/a odpowiada admitancja aY.

	©	©	©
©	Y	-Y	0
©	-Y	Y + jcoC	-jcoC
©	0	-jaC	aY + ja>C+ jcoaC

Do wyznaczenia wzmocnienia zgodnie ze wzorem Nr 2 z tabeli W3.7 musimy obliczyć dwa dopełnienia algebraiczne Ad i Au elementów macierzy admitancyjnej.

©	-Y	Y + jcoC	©	Y+ jcoC	- jcoC
©	0	-jcoC	©	- jcoC	aY +jco(a+l)C

dopełnienia algebraicznego J/j

dopełnienia algebraicznego J,/

Podwyznaczniki potrzebne do tego celu pokazano na dwu kolejnych rysunkach 4.10.3 i 4.10.4. Na ich podstawie możemy napisać:

K(ju)=— =-rn-—■ ^v—---r- (4.10.1)

A„ (-l)^w{(y + ;coC)[ay + yto(a + l)C]-(-yo)C)²}

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

K(jw) = —-YJuC- _{(4 I02)}

aY' +(2a + l)Y-jwC + a(j(oC)²

Dzieląc licznik i mianownik przez Y² i podstawiając z powrotem 1/y = R uzyskujemy postać dla zmiennej coRC:

j(i)RC _ jitiRC

K(ju) = -

(4.10.3)

a + (2a+l)(jaRC) + a(juRCy- a[l-(w/?C)²] + j(2a + V)ioRC

na podstawie której - przechodząc do postaci wykładniczej dla licznika i mianownika - łatwo można uzyskać wyrażenia opisujące moduł i fazowy transmitancji. Zapewne najlepszym pomysłem pozwalającym szybko uzyskać pogląd na temat przebiegu charakterystyki częstotliwościowej jest podzielenie licznika i mianownika wyrażenia (4.10.4) przez jcoRC. Uzyskujemy wtedy postać:

K(jto) =----- (4.10.4)

(2a +1) + ja (u>RC--—)

oRC

Dla pulsacji charakterystycznej, czyli dla cuRC = 1 z ostatniej zależności mamy:

K(ju) = _:

(4.10.5)

2a + l 2a + l

czyli kąt przesunięcia fazowego jest równy zeru, a moduł transmitancji zależy od przyjętego współczynnika a.

Dla bardzo małych częstotliwości sygnału (dla pulsacji wRC « 1) w mianowniku wyrażenia (4.10.4) wobec dużej wartości M(ojRC) możemy pominąć pozostałe składniki, co daje nam równanie asymptoty, z którego wynikają asymptoty dla charakterystyki modułu i fazy transmitancji:

KU«>) =

w Ciążyńłlci _ ELEKTRONIKA W ZADANIACH Cząić 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

ja (——) 10 RC

= J-

wRC

CORC y 00"

(4.10.6)

Dla bardzo dużych częstotliwości sygnału (dla pulsacji coRC » 1) w mianowniku wyrażenia (4.10.4) wobec dużej teraz wartości coRC możemy pominąć pozostałe składniki, co daje nam równanie drugiej asymptoty:

(4.10.7)

ja o)RC a oRC

Na rysunku 4.10.5 pokazano charakterystyki modułu i fazy transmitancji napięciowej dla dwu wartości współczynnika a (równych 1 i 10).

Rys. 4.10.5 Charakterystyki amplitudowe układu z rysunku 4.10.1 dla a = 1 i 10

Dla a = 1 mamy do czynienia z układem zawierającym dwa

jednakowe rezystory R i dwa jednakowe

kondensatory C.

(4.10.8)

K(jio) = -

Transmitancja napięciowa tego układu jak wynika choćby z podstawienia a = 1 do wzoru (4.10.3) przybiera postać, którą otrzymaliśmy już w zadaniu 4.9 (patrz zależność 4.9.4) dla układu pasmowoprzepustowego o nieco innej strukturze, tzn: jusRC_ _jwRC

1 + 3(;co/?C) + (jcaRC)² [1-M?C)²] + j 3 (aRC Macierz admitancyjna analizowanego układu „mostka Wiena” dla a = 1 pokazana poniżej na rysunku 4.10.6 nie jest co prawda identyczna z macierzą z rysunku 4.9.2 dla układu z poprzedniego zadania, ale różnica pomiędzy nimi polega tylko na tym, że dwa elementy macierzy (pokazane na szarym tle) zamieniają się miejscami.

	©	©	©
©	y	-Y	0
	-Y	Y +JwC	-jcoC
	0	-jcoC	Y + 2jcoC

Rys. 4.10.6 Macierz admitancyjna układu z rysunku 4.10.1 dla a = 1

Jak można sprawdzić taka zamiana nie wpływa na wartości obydwu dopełnień algebraicznych Au i A/j i transmitancje napięciowe obydwu układów są identyczne. Taką samą transmitancję otrzymamy także dla układu pasmowo przepustowego, dla którego w stosunku do rysunku 4.10.1 zamienimy kolejność obydwu ogniw RC, tzn. jako pierwsze włączymy ogniwo filtru górnoprzepustowego.

Zainteresowany Czytelnik zechce sprawdzić, że inne parametry porównywanych układów (transmitancja prądowa, impedancja wejściowa i wyjściowa) są różne.

Charakterystyki amplitudowe wynikające z zależności (4.10.4) do (4.10.7) przedstawiono na rysunku 4.10.5.

- 197-