w Ciążyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH C2ęśt 4: Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych
przedstawiona na płaszczyźnie zmiennej zespolonej będzie rozciągać się w trzech ćwiartkach układu współrzędnych (I, II i III ćwiartce).
Ad 1. Dokładne wyrażenie opisujące transmitancję można byłoby uzyskać droga elementarnych obliczeń, podobnych do przedstawionych w zadaniach 4.2 i 4.3 <j|a filtrów dolnoprzepustowych 2-go rzędu. Tę drogę pozostawimy zainteresowanemu Czytelnikowi, a my zastosujemy poznaną w części 3 niniejszego zbioru zadań metodę macierzy admitancyjnej.
Analizowany układ zawiera cztery węzły, które oznaczono kolejnymi numerami już na tematowym rysunku 4.7.1. Przypomnijmy, że kwadratową macierz admitancyjną o rozmiarach zależnych od liczby węzłów (tutaj macierz 4-go stopnia) tworzymy następująco (patrz „Wprowadzenie” do części 3 zbioru):
• do każdego z elementów 7„ leżących na przekątnej głównej macierzy wpisujemy sumę admitancji wchodzących do odpowiadającego danemu elementowi i-tego węzła;
• admitancję łączącą węzły o numerach i i j wpisujemy ze znakiem minus do dwu elementów macierzy Ty i T,,-.
Zastosowanie tego algorytmu prowadzi do uzyskania macierzy przedstawionej na rysunku 4.7.2. Przez Y oznaczono w niej admitancję Y = 1 /R.
© |
® |
© | ||
© |
JcoC |
-jcoC |
0 |
0 |
© |
-jcoC |
Y +2 jcoC |
-jcoC |
0 |
0 |
-jcoC |
Y + 2 jcoC |
-jcoC | |
© |
0 |
0 |
-jcoC |
Y + jcoC |
Rys. 4.7.2 Macierz admitancyjna układu z rysunku 4.7.1
© |
© |
© |
© |
© |
© | ||
© |
-jcoC |
Y + 2 jcoC |
-jcoC |
© |
Y + 2 jcoC |
-jcoC |
0 |
© |
0 |
-jcoC |
Y + 2 jcoC |
© |
-jcoC |
Y +2 jcoC |
-jcoC |
© |
0 |
0 |
-jcoC |
© |
0 |
-jcoC |
Y + jcoC |
Rys. 4.7.3 Podwyznacznik do obliczenia Rys. 4.7.4 Podwyznacznik do obliczenia
dopełnienia algebraicznego Au dopełnienia algebraicznego Au
Poszukiwane wzmocnienie obliczymy korzystając z zależności Nr 2 podanej w tabeli W3.7, przyjmując węzeł © jako wejście, a węzeł © jako wyjście układu. Podwyznaczniki macierzy admitancyjnej potrzebne do obliczenia dopełnień algebraicznych wchodzących do wspomnianej zależności pokazano na rysunkach 4.7.3 i 4.7.4 powyżej.
_(-1 )U4(-y(oC)3__■
(-1),+I[(T + 2jaC)2 (Y + j(oC)-(jwC)2(Y + jaC) - (jaC)2 (Y + 2jaC))
(4.7.4)
KO‘ta) = -~" =
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
(4.7.5)
Kija) =
Y3+5Y2 (jaC) + 6 Y(jaC)2 + (jaC)3
W Ctązyftski - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4 charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych
postać wielomianu trzeciego stopnia dla zmiennej jcoRC:
0<»/?c)3
J l + 5(y(o/?C) + 6(y'co/łC)2 + (jwRC)3
Dzieląc przez Y3 i podstawiając z powrotem 1 IY = R uzyskujemy w
(4.7.6)
Wielomian ten można rozłożyć na trzy czynniki, ale otrzymane 3 rzeczywiste bieguny transmitancji leżą na tyle blisko siebie, że na odpowiednich wykresach wynikające z nich asymptoty o nachyleniu 20dB/dek i 40dB/dek nie byłyby użyteczne (patrz zadanie 4.2).
Ad 2. Do znalezienia współrzędnych punktów przecięcia charakterystyki z osiami na płaszczyźnie zmiennej zespolonej bardziej celowe jest przedstawienie mianownika transmitancji napięciowej jako wyrażenia zespolonego w postaci algebraicznej: _-;(co/?C)3_
KUW - p_ 6(a^c)2-| + j0iRC[5 - (toRC? ] (4'7 7)
Ra K(jco)
Rys. 4.7.5 Charakterystyka amplitudowo-fazowa filtru gómoprzepustowego RC 3-rzędu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
Część rzeczywista mianownika transmitancji zeruje się, czyli mamy: l-6(co/?C)2 =0 dla względnej częstotliwości:
(toflC)2 =1/6 czyli tu/?C = 1/76 = 1/2.449 = 0,408 (4.7.8)
Transmitancja napięciowa wynosi wtedy:
(4.7.9)
K(M = -
-j((0/?Q3 _ -(toRC)1
j(aRC[5-(i>}RC) ] 5-(toRCy >--6 29
a więc wyraża się ujemną liczbą rzeczywistą, co oznacza że dla coRC = 0,408 charakterystyka na płaszczyźnie zmiennej zespolonej przecina ujemną półoś rzeczywistą a kąt fazowy wektora transmitancji wynosi wtedy 180”.
Część urojona mianownika transmitancji (wyrażenie 4.7.7) zeruje się, czyli mamy cu/?C[5 -(U)/?C)2] = 0 dla dwu względnych częstotliwości:
• cuRC = 0, co odpowiada modułowi transmitancji ku = 0 dla prądu stałego
- 185-