00098496

280 in. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

k = 0. 1 Ustalają: wartość k otrzymamy funkcję jednoznaczną w obszarze 0 •    > . ale nieciągłą na ujemnej półosi rzeczywistej, i uwagi na nieciągłość

atgr. 3V yd/ictcnie gałęzi funkcji dwuznacznej (111.86) jest możliwe w odpowiednio zawężonej Jzicćzime. r.p. w obszarze A (patrz rys. 111.13). Ne III 16 przedstawiono odwzorowaniu tego właśnie obszaru A za pomost dwóch gałęzi funkcji (111.86), mianowicie

h- = V'z (k = 0) oraz

(k - 1)

Oczywiście dla każdego z mamy

l_o==

Rys. 111.10

lila funkcji (111.86) łatwo jest /budować powierzchnię Riemanna. W tym celu wystarczy wziąć dwie płaszczyzny zespolone, oznaczyć jedną cyfrą 0, drugą cytrą 1, następnie rozciąć je wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej i złączyć brzeg górny cięcia na płaszczyźnie 0 z brzegiem dolnym cięcia nu płaszczyźnie I, oraz brzeg górny cięcia na płaszczyźnie I z brzegiem dolnym cięcia na płaszczyźnie 0. Dwie pozostałe pary brzegów nie mogą mieć natomiast punktów wspólnych. Każdemu punktowi z płaszczyzny 0 przyporządkowujemy liczbę y/t, każdemu zaś punktowi z płaszczyzny 1 — liczbę i'z. Komentarz do budowy takiego układu płaszczyzn (uklud ten Sianowi powierzchnię Riemanna funkcji (111.86)) jest podobny jak w przypadku funkcji Lnr. Chodzi tu nic o wyobrażenie sobie takiej powierzchni w przestrzeni £>. co nie jest możliwe, lecz o ustalenie przepisu dotyczącego przecinania ujemnej półosi rzeczywistej. Na tak zbudowanej powierzchni Riemanna funkc a u |? jest jednoznaczna i ciągła. Jednoznaczność jest tu oczywista, natomiast ciągłość jest związana ze sposobem łączenia brzegów dwóch płaszczyzn (rys. III. 17) i z okresowością funkcji wykładniczej zmiennej zespolonej

!. Podać definicji; okresowości funkcji zmiennej zespolonej. Omówić interpretację gi tyczną. Wyjaśnić dlaczego funkcja c* jest okresowa i podać kilka różnych jej okresów.

Ł Podać definicje logaryltnu naturalnego liczby zespolonej. Co to jest logaiytm glć Omówić obliczanie logarytmów.

3. Wykazać, żc jeżeli z,r₂ z⁵ 0, to:

- Lnj,-Lnrj

a) Łn(z,zj)—Lni₁ + Lnij, b) Ln-

natomiast takie same wzory dla logarytmów głównych są fałszywe (por. p. 1 lego rozdz., wzory

(111.7) i (Ut-8».

*. Obliczyć: a) Lne, b) Ino, c) Ln(    d) ln(-l | j/5),

e) Ln(l-J), f) ln(I-j), g) Ln--—, li) In—.

1-1-7    1 +J

5.    Potęgę zespoloną liczby zespolonej a >* 0 określamy następująco: a"

Potęga zespolona nic jest więc określona jednoznacznie. Liczbę e^Nro nazywamy wartością główną potęgi a*.

Obliczyć: a) j¹. b) wartość główną P, c) (-iy, d) wartość główną (-iy.

6.    Jeżeli:

sinw = z    cos w = z    Iga • z    ctgw =■ z    <A)

to zależność w od z oznaczamy odpowiednio symbolem:

w <= Arcsin;    w = Arccos;    ty = Aretgz    w = Arcctgz

Zależności te są funkcjami nieskończenie wieloznacznymi, które nazywamy odpowiednio:

Wyprowadzić wzory:

a) ArcsmZ"’—JLn(Jz+)/l—z¹),    b) Arccos.- — —/Ln(z+(/*J . i).

Odpowiedzi sprawdzić, podstawiając je do odpowiedniej z równości (A).

7. Obliczyć: a) Arosinj, b) Arctg2j. ę) Aresm2, d) Arctg(-I).

Arthz