Cialkoskrypt9

236 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

a stąd moc

N =Mo) = m(r,0)-v_lu -r₂w-v_2u) = m(u,v_lu -u₂v_2u).

Zależność ta stanowi podstawowe równanie teorii maszyn przepływowych. Powyższe zależności zostały wyprowadzone dla przepływu płaskiego, wtedy składowa prędkości w kierunku osi z: v_z = 0.

Rozważania powyższe można rozszerzyć na przypadek trójwymiarowy przedstawiony na rys. 4.4. Wektory prędkości rozkładamy na składowe w kierunku osiowym v_z, promieniowym v_r i obwodowym v_u, a na rysunku zaznaczono dodatkowo składową prędkości v_n prostopadłą do przekroju kontrolnego, niezbędną dó wyznaczenia strumienia masy. Moment wektora v względem osi z wynosi zatem vxr, a jego wartość jest równa (v_tlr), gdyż składowa v_z ze względu na osiową symetrię daje moment równy zeru.

4.6. Podobieństwo przepływu

Wykorzystanie reguł podobieństwa jest niezbędne w sytuacjach, gdy obiekty badań ograniczają możliwości zastosowania metod eksperymentalnych. Dzieje się tak, gdy obiekt badań jest bardzo duży (np. samolot, statek), badania zagrażałyby życiu (np. przepływy płynów niebezpiecznych, badanie zjawisk detonacji), koszty badań byłyby bardzo wysokie (np. badania technologii kosmicznych) itp. W wielu takich przypadkach korzystamy z badań eksperymentalnych prowadzonych na modelach. Wzory służące do transformacji układu (obiektu) rzeczywistego na układ (obiekt) podobny są oparte na teorii podobieństwa, a uzyskane wyniki mogą opisywać układ pierwotny, jeżeli są spełnione dwa zasadnicze warunki:

1)    określono warunki aerodynamicznego podobieństwa pomiędzy przepływami modelowymi i rzeczywistymi,

2)    określono funkcje transformujące wielkości uzyskane z badań modelowych na odpowiadające im wielkości odnoszące się do obiektu rzeczywistego.

Do analizowania pól prędkości, ciśnienia, temperatury, sił itd. konieczne jest przede wszystkim podobieństwo geometryczne modelu i obiektu rzeczywistego. Na rysunku 4.6 przedstawiono dwa trójkąty, które są podobne. Podobieństwo geometryczne tych elementów wraz z przynależnymi układami współrzędnych wyraża się za pomocą następujących warunków:

l\ _ ^2 _ ^3 _ l₀

T — T ““ ~T T ♦

^2    h

Występujące w powyższej relacji i /'o są umownie przyjętymi wymiarami charakterystycznymi ciała, a ich stosunek można wyrazić jako

C'

A

B

x

Rys. 4.6. Podobieństwo geometryczne elementów trójkątnych

y

W przypadku analizowania pól prędkości, ciśnienia, temperatury pojawiają się również inne wielkości charakterystyczne: v₀ - prędkość charakterystyczna, p₀ -ciśnienie charakterystyczne, T₀ - temperatura charakterystyczna lub charakterystyczny spadek temperatury AT₀ itd. Powyższe wielkości służą do przedstawienia analizowanych wielkości w postaci bezwymiarowej. Konsekwencją przyjęcia bezwymiarowych wielkości jest wprowadzenie bezwymiarowych operatorów różniczkowych występujących w równaniach różniczkowych.

Przepływy opisane są równaniami różniczkowymi w czasoprzestrzeni z warunkami brzegowymi oraz warunkami początkowymi. Stąd otrzymujemy warunki całkowitego podobieństwa przepływów. Są to:

1)    identyczność równań opisujących przepływ,

2)    podobieństwo geometryczne obszaru.

Z podobieństwa geometrycznego obszarów wynika podobieństwo geometryczne powierzchni brzegowych, na których stawiamy warunki brzegowe. Z kolei podobieństwo geometryczne powierzchni brzegowych daje podobieństwo warunków brzegowych. Powyższe warunki gwarantują całkowite podobieństwo przepływów.

Współrzędne i operatory bezwymiarowe są następujące:

v

AP ^pp ^^p

A'P' B'P' C'P' /' ^lo

v

i -v_x + j-v_y +k-v_z,

V

x __ y __ z