24 (595)

66 II. Parametryczne testy istotności

Jest istotności dla tej hipotezy jest następujący. Z wyników obu prólfM obliczamy wartości średnie x_x i x₂ oraz wariancje ś_x i s\> a następnie waifj tość statystyki t według wzoru

(2.5)    11 WWpIpB

n₁s_i+n₂sln _| 1\

V n_x+n₂.^?2    n₂/

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład, t Studenta oi«x+«2 — 2 stopniach swobody; Z tablicy rozkładu t Studenta* należy odczytać dla «₁+n₂~2 stopni swobody Oraz dla założonego z górjfl poziomu istotności a taką wartość krytyczną t_a, by spełniona była równość*

P{\t\^t_a}=<x. Nierówność |?| > t_a określa dwustronny obszar krytycztJB testu, tzn. gdy porównując obliczoną wartość t z wartością- krytyczną 11 otrzymamy nierówność    to hipotezę sprawdzaną H₀ odrzucamy^H

Gdy zajdzie natomiast nierówność przeciwna jt]<r_a, to nie ma podstawi do odrzucenia hipotezy H₀.

Uwaga 1. Podobnie jak w modelu I, gdy hipoteza alternatywna maj postać H_x: m_x<m₂, wtedy stosujemy w tym teście lewostronny obszar krjj tyczny wyznaczony nierównością t^t_a, gdzie krytyczna wartość t_a jestj wtedy odczytana z tablicy rozkładu t Studenta w taki sposób, by spełnionej była równość P{t^t_a}=a. Natomiast dla hipotezy alternatywnej postacg H_x: m_x>m₂, stosujemy w tym teście prawostronny obszar krytyczny wyl znaczony nierównością t^t_ai gdzie wartość krytyczna odczytana jest z tablicy tak, by zachodziła równość P{t^ł_K}=oc.

Należy nadmienić, że test istotności dla dwu średnich według modehfl II jest ze względu na małe próby najczęściej stosowany w statystycznej analizie wyników eksperymentów naukowych z różnych dziedzin wiedz;* Nie wymaga się przy tym jednakowo licznych prób.

Uwaga 2.. Czasem w praktyce zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacja Jest tak wtedy, gdy stanowią one pary przyporządkowanych sobie liczb. Typową sytuacją jest tu model: wynik x_t „przed” jakąś operacją i wynik* y-i ₃>po” niej dla tego samego i. Należy wtedy analizować wyniki obu prób jako wyniki jednej próby biorąc różnice y_i—x_i, a zamiast testu zamieszczę!

nego w modelu II użyć testu dla średniej różnicy według modelu II w § 1 lego rozdziału. Stosujemy wtedy następujący wzór na wartość statystyki t Studenta:

t=:-—\l.n— 1, s_z

gdzie z_i=y_i—x_i, a n jest liczbą par. Zamiast hipotezy H₀: mi=m₂, weryfikujemy wtedy hipotezę H₀: Z=0, gdzie Z oznacza średnią w populacji różnic.

Model DI. Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne lub inne, byle o skończonych wariancjach a\ i a\, które są nieznane. Na podstawie wyników dwu dużych prób (n_x oraz n₂ są rzędu co najmniej kilku dziesiątków) wylosowanych z obu populacji należy sprawdzić hipotezę H₀: m_x=m₂ wobec hipotezy alternatywnej H_x: m_t

Test istotności dla sprawdzanej hipotezy H₀ budujemy analogicznie jak w modelu I, tj. w oparciu o rozkład normalny N(0, 1), z tą jedynie różnicą, że przy obliczaniu wartości u zamiast nieznanych wariancji a\ i ę\ przyjmujemy wartości sf i s\ uzyskane z dużych prób.

Przykład 1. Pragniemy stwierdzić, czy słuszne jest mniemanie, że zatrudni one na tych samych stanowiskach w pewnym przemyśle kobiety otrzymują przeciętnie niższą płacę niż mężczyźni. Z populacji kobiet zatrudnionych na określonych stanowiskach wylosowano w tym celu niezależnie próbę «! = 100 kobiet i otrzymano z niej średnią płacę ar* =*=2180 zł oraz wariancję płac s_x=6400. Z populacji mężczyzn zatrudnionych w tym przemyśle na tych samych stanowiskach wylosowano niezależnie n₂ == 80 mężczyzn, i otrzymano dla nich średnią płacę x₂ ⁼ 2280 zł oraz wariancję j$2 ” 10000. Na poziomie Istotności a=0,01 należy sprawdzić hipotezę, że średnie płace kobiet są niższe. '

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że ze względu na nieznane wariancje obu populacji, ale duże próby, mamy do czynienia z modelem III, w którym test istotności dla sprawdzanej hipotezy jest taki sam jak w modelu I, z tym że zamiast i crf przyjmujemy z prób Wartości i a\.

Hipotezę badawczą o niższych przeciętnie zarobkach kobiet, zamieniamy na hipotezę statystyczną, że średnie zarobki kobiet m_x oraz mężczyzn