339 (14)

.78 26. Analiza obwodów nieliniowych

Dbecność tego wyrazu w rozwiązaniu świadczyłaby o istnieniu w badanym układzie irgań o amplitudach rosnących do nieskończoności wraz z upływem czasu, onieważ jest to niemożliwe ze względów fizycznych, więc rozpatrywany wyraz lależy usunąć z rozwiązania, przyjmując

3 a³

m-y⁼⁰*

kąd otrzymujemy stałą

_h 3a²

^{bi =} ^r

^ysiępującą w szeregu potęgowym dla co². Ponieważ

■>

1

(s² + to²)(s² + 9a>²)    8a>²\s² + ar s² + 9co

znajdujemy

A* 32 co²

x_l{t)=    ₂(costut — cos3<ut).

(26.60)

+ c«²x₂ = b₁x_i + h₂x₀ — 3xoX_x,

Rozpatrzymy teraz wyrazy zawierające h² w równaniu (26.58): d²x,

dt²

a po podstawieniu wyznaczonych uprzednio funkcji x₀ oraz x_t i wykorzystaniu wzoru (26.50) dla cos³cor oraz zależności cos²acos3a = 4COsa + ^cos3a + icos5a, (znajdujemy

d²x_{2 2} -aF^+(0X2

( 3/4⁵    \

— I    —^ + b₀A Icoscut— ,cos5(Ot.

\ 128cu²

128cu²

Równanie to rozwiązujemy metodą przekształcenia Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych. Eliminując — jak poprzednio — wyraz przedstawiający drgania o amplitudzie narastającej do nieskończoności, otrzymujemy równanie

3 A⁵ 128or

; + b₂A — 0,

którego znajdujemy stałą

Otrzymujemy

x₂(t) = -

3A^;

128cł>²

(s² + a>²)(s² + 25co²)

a stąd znajdujemy

x₂(f) = -

1024co

r(coscu£ — cos5cof).

(26.61)

W podobny sposób można wyznaczyć dalsze wyrazy szeregów potęgowych (26.57) Funkcje x_Ł(t) oblicza się, rozwiązując liniowe równanie różniczkowe, którego prawa strona zależy od rozwiązań otrzymanych w poprzednich etapach, warunki początkowe zaś są zerowe. Stałe b_k występujące w szeregu potęgowym dla cup wyznacza się drogą eliminacji wyrazów przedstawiających drgania o amplitudach rosnących do nieskończoności.

Trzecie przybliżenie rozwiązania rozpatrywanego równania wyraża się wzorem

x(t) = /łcoscor-

hA²

_r(cosco£ — cos3<wt)-

h²A^s

32cu²'    ' 1024có

a kwadrat pulsacji drgań własnych jest równy

^(coscof — cos5cuf), (26.62)

co² = co o +

3hA² 3h²A

128co²

(26.63)

We wzorze (26.62) dla x(£) występuje wielkość hA²/32a>² w pierwszej i drugiej potędze. Aby rozwiązanie zapewniało dobrą dokładność, musi być spełniony warunek hA²/32a>² « 1. Pozostawiając dwa pierwsze wyrazy w zależności (26.63) dla

ar, mamy

CO² = COq +

3 hA²

(26.64)

Wynika stąd, że pulsacja co drgań własnych obwodu zależy od wartości początkowej A wielkości x(f). Należy podkreślić, że w obwodach liniowych zależność pulsacji drgań własnych od wartości początkowej nie może mieć miejsca.

26.9.3. Przykład równania niejednorodnego

Metoda małego parametru znajduje szerokie zastosowanie przy analizie układów z wymuszeniem, opisanych przez równania różniczkowe nieliniowe. W celu przedstawienia metody postępowania rozpatrzymy równanie DufTmga

d²x

-jp- + coo x + /ix³ = Gcoscof,    (26.65)

przyjmując warunki początkowe: x(0) = A, x'(0) = 0.