336 (15)

S72 26. Analiza obwodów nieliniowych

spiralnie na cykl graniczny od wewnątrz (rys. 26.18a) lub od zewnątrz (rys. 26.18b), należnie od położenia punktu (x₀, t;₀). Cykl graniczny odpowiada stanowi ustalone-nu. a część trajektorii nawijającej się na cykl graniczny odpowiada stanowi

jrzejściowemu.

Gdy punkt (.v₀, v₀) położony jest wewnątrz cyklu granicznego, wówczas drgania v obwodzie narastają i w granicy dążą do drgań ustalonych. Jeśli natomiast punkt x₀, r₀) znajduje się na zewnątrz cyklu granicznego, to drgania stopniowo maleją do wielkości ustalonej.

Cykl graniczny może mieć dowolną postać. Gdy cykl graniczny jest zbliżony do :lipsy (lub okręgu), wówczas drgania są w przybliżeniu sinusoidalne. Cykl graniczny irgań wykazujących duże różnice w porównaniu z przebiegiem sinusoidalnym, idbiega znacznie od elipsy. Tak na przykład cykl graniczny drgań relaksacyjnych por. p. 25.14) bardzo odbiega od elipsy.

!6.8. Metoda bilansu harmonicznych

16.8.1. Uwagi ogólne

Metoda bilansu harmonicznych znajduje zastosowanie przy analizie drgań kresowych, występujących w stanie ustalonym układu przy wymuszeniu okreso-/ym.

W celu uzyskania przybliżonego rozwiązania nieliniowego równania różnicz-owego, rozwijamy w szereg Fouriera funkcję wymuszającą i zatrzymujemy kilka oczątkowych harmonicznych. Rozwiązanie przyjmujemy w postaci sumy har-lonicznej podstawowej o pulsacji takiej samej jak w przypadku wymuszenia oraz iKilku harmonicznych. Oba wyrażenia podstawiamy do równania i po wykonaniu rzekształceń porównujemy ze sobą wyrazy zawierające harmoniczne tego samego jędu. Otrzymujemy w ten sposób równania, z których znajduje się poszczególne armoniczne.

Koncepcja metody bilansu harmonicznych jest bardzo prosta, jednakże już przy względnieniu tylko dwóch początkowych harmonicznych napotyka się zazwyczaj uże trudności przy rozwiązywaniu otrzymanych równań. Metoda ta pozwala często yznaczyć w stosunkowo prosty sposób harmoniczną podstawową.

Metodę bilansu harmonicznych przedstawimy na przykładach.

6.8.2. Przybliżone rozwiązanie równania Duffinga

Szeregowe połączenie kondensatora o stałej pojemności i cewki z rdzeniem alowym zasilane jest napięciem sinusoidalnym (rys. 26.19). Wyznaczymy prąd połączeniu.

Rys. 26.19. Obwód zawierający kondensator i cewkę z rdzeniem stalowym

W

Charakterystykę cewki nieliniowej przyjmujemy w postaci

i = -\]/ + a41³.

L-t

Równanie napięciowe obwodu jest następujące:

-fa^+uc = V_mńnwt,

a po zróżniczkowaniu względem czasu mamy

d²\p du_{c rr}

—_T-\--- = w t7 „cos col.

dl² dt

„ ,    . . du_c

Podstawiając —— z wzoru i dl

du_r

C oraz i z równania charakterystyki, otrzymujemy

d²i/t 1 a ₃

dr^{r +} LĆ^ ⁺ C^ ⁼ 0)U^^c0S(Ot’

a po wprowadzeniu oznaczeń: cn₀ = \/jLC, h = a/C, G = a)U_m, uzyskujemy równanie

d²tjf dr²

+ a>oiA + hij/³ - Gcoscur

X

(26.49)

nazywane równaniem Duffinga.

Rozwiązanie równania (26.49) przyjmujemy w postaci i/) = z^coscot-l-zljCOsScot. Podstawiamy to wyrażenie do równania (26.49) i po wykonaniu prostych przekształceń przy zastosowaniu wzorów

cos²x = i(l+cos2x), cos³x = |(cos3x + 3cosx),    (26.50)

otrzymujemy

— oj²(/ł j cos wr + 9/4 ₃ cos3cur) + Wo(>l i coswt + A₃cos3o>r) +

+ h[^A i (3 cos wt + cos 3 wt) +iA$A₃ (cos wt + 2 cos 3cor + cos 5wt) -f +    i A 3 (2 cos wt + cos 5cut 4- cos lwi) +

+ i/4₃(3cos3ft)f-l-cos9a)t)] = Gcoswt.