338 (15)

676 26. Analiza obwodów nieliniowych

określonej przez rzędną punktu b do wartości określonej przez rzędną punktu c. Dalszy wzrost pulsacji powoduje zmniejszanie się amplitudy \A\ według łuku cd

krzywej.

Jeżeli będziemy zmniejszać pulsację do wartości a>₁, to amplituda |/1| wzrasta według łuku dce. Gdy pulsacja staje się mniejsza od cu,, wówczas amplituda \A\ wzrasta skokowo od wartości określonej przez rzędną punktu e do wartości określonej przez rzędną punktu f Dalszemu zmniejszaniu pulsacji w < (o₁ towarzyszy zmiana amplitudy \A\ według łuku fa krzywej. W punktach w = o)_x oraz co = co₂ występuje skokowa zmiana amplitudy \A\ drgań. Zjawisko to ma podobny charakter jak w przypadku ferrorezonansu napięć lub prądów (p. 25.7).

26.9. Metoda małego parametru

ł6.9.1. Uwagi ogólne

Metoda małego parametru, zwana również metodą perturbacyjną, pozwala wyznaczyć rozwiązanie nieliniowego równania różniczkowego w postaci szeregu potęgowego pewnego parametru. Jeżeli parametr ten jest dostatecznie mały, to kilka początkowych wyrazów szeregu potęgowego przedstawia rozwiązanie o wystar-:zającej dokładności. Metoda małego parametru jest jedną z najbardziej ogólnych przydatnych metod analitycznych. Metodę małego parametru przedstawimy na iwóch przykładach.

26.9.2. Przykład równania jednorodnego

Rozpatrzymy jednorodne równanie różniczkowe nieliniowe

d*x

—rr + (O oX + hx³ = 0,    (26.56)

d t

przyjmując warunki początkowa: x(0) = A oraz x'(0) = 0. Rówmanie to otrzymuje ;ię z rówmania Duflinga (26.49) przy G = 0. Równanie (26.56) dotyczy strumienia kojarzonego (x = i/c) w obw^rodzie zawierającym kondensator i cewkę z rdzeniem talowym, jeżeli znana jest wartość początkowa strumienia, a początkowe napięcie la kondensatorze jest równe zeru.

Rozwiązanie równania (26.56) oraz kwadrat pulsacji drgań własnych przed-itawiamy w postaci szeregów potęgowych parametru h

x(f) = x₀(t) + hx₁(t) + h²x₂(l) + ..., w² = o)o + hb_l + h²b₂ +...,    (26.57)

;dzie b_x. b₂,... są stałymi niezależnymi od czasu. Zakładamy, że funkcja x_o(0 spełnia e same warunki brzegowe, co rozwiązanie x(t), wobec tego x_o(0) = A, Xq(0) = 0, aś warunki początkowe funkcji x₁(r), x₂(r),... są zerowe. Funkcje x₀(f),

x₀(r) + Jix₁(r), x₀(r) + /ix₁(f)-t-/j²x₂(t),... przedstawiają kolejne przybliżenia rozwiązania równania (26.56). Na podstawie zależności (26.57) otrzymujemy

o)q = o² — hb_l—h²b₂ — ...,

wobec tego mamy w przybliżeniu

a>o* = aj²x₀ — hb₁x₀ — h²b₂x₀ + ho)²x₁—h²b_lx₁ +h²a>²x₂ + ...,

a ponadto

hx³ = hxl + /j²3xqX₁ +...,

przy czym pozostawiano tylko wyrazy zawierające h co najwyżej w potędze drugiej. Po podstawieniu tego wyrażenia do równania (26.56), mamy

+ h²(o²x₂ +... + hxo + /?²3xqX| +... = 0. (26.58)

Otrzymane równanie będzie spełnione dla każdej wartości h, jeżeli spełnione będą równania otrzymane z przyrównania do zera wyrazów zawierających h w tej samej potędze. Rozpatrując wyrazy nie zawierające h, otrzymujemy równanie

a rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki początkowe x_o(0) = A oraz xó(0) = 0 jest

(26.59)

x₀(r) = ^coscot.

Rozpatrując wyrazy zawierające h, otrzymujemy równanie

a podstawiając x₀(t) z zależności (26.59) znajdujemy

d²x    /    3A³\    A^

——y^L + a»²x₁ — b.A--— lcoscot—-cos3 mt.

dr    V ⁴ /    ⁴

Rozwiązanie tego równania znajdziemy przy zastosowaniu metody przekształcenia Laplace’a, przyjmując zerowe warunki początkowe; otrzymuje się

przy czym