366 2

366

8. Równania różniczkowe

Metody ekstrapolacyjno-interpolacyine rozpatruje sie rozszerzając metody _W]ej krokowe na tzw. metody wielowartościowe; zob. Gear [108], rozdział 9. Tego rozszerzenia choć ważnego pod pewnymi względami, nic omawiamy w niniejszej książce.

Trzeba koniecznie odróżniać stabilność równania różniczkowego (zob. rys ^ j ₀ i 8.1.3) od stabilności metod numerycznych. To równanie jest dobrze uwarunkowane np. niezbyt duża jest wartość exp [L{b-aj\, gdzie L szacuje z góry normę logarytmiczną (określoną na końcu § 8.1.2). Zauważmy zasadniczą różnicę między zadaniem źle uwarunkowanym i algorytmem ile uwarunkowanym (§ 2.4.2).

Na przykładzie metody punktu środkowego widać, że K_z w (8.5.15) może być dodatnie nawet wtedy, gdy L jest ujemne. Jeśli zatem b— a jest duże, to oszacowanie błędu z twierdzenia 8.5.4 (jak i rzeczywisty błąd) może być duże, chyba że h i poziom zaburzeń są bardzo małe. Dlatego określone już pojęcie stabilności nie wystarcza, szczególnie dla zagadnień sztywnych (§ 8.3.5). Dla tych ostatnich jest odpowiedniejsza stabilność typu A (a) oznaczająca, żc obszar stabilności zawiera kąt |arg (hą)—jt| < a. W szczególnym przypadku, gdy * - tn (tzn. gdy ten kąt jest lewą półpłaszczyzną) mówi się o stabilności typu A. Zgodnie z przykładem 8.5.10 metoda trapezów jest stabilna w tym właśnie sensie .Wprowadzone tu definicje odnoszą się nic tylko do metod liniowych wielokrokowych. Pojęcie stabilności ma wiele odmian; zob. Gear [108], rozdział 11.

Żądanie stabilności nakłada ograniczenia na osiągalną dokładność metod liniowych wielokrokowych. Chociaż dla każdego k istnieje metoda liniowa /.-krokowa z p-2k_y to można wykazać, że ze stabilności wynika, iż p^kĄ 2 dla parzystych k i p^kyl cla nieparzystych k. Stabilność typu A powoduje, że 2. W istocie, wśród wszystkich liniowych metod wiclokrokowych stabilnych w tym sensie najmniejszy błąd obcięcia ma metoda trapezów. Istnieje jednak wiele sposobów obejścia ograniczenia p^2 w przypadku stabilności typu A\ w tym celu rozszerza się nieco rodzinę metod. Można np. otrzymać metodę stabilną typu A rzędu czwartego, łącząc z metodą trapezów ekstrapolację bierną Richardsona. Liniger i Odch (IBM Journal of Research and Development, 1972) wykazali, tc można stosować wiele metod stabilnych typu A i rzędu drugiego i otrzymywać wyższy rząd dokładności biorąc odpowiednią kombinację liniową ich wyników.

Na koniec zaznaczamy, że jeśli k> 1. to k— 1 dodatkowych warunków niezbędnych, aby wyznaczyć rozwiązanie równania różnicowego (8.5.12). nie musi być wartościami początkowymi. Dla równań różnicowych można sformułować również zagadnienie brze* go we i to nawet wtedy, gdy' dla równania różniczkowego było dane zagadnienie początkową. Zagadnienie brzegowe dla równania różnicowego może być stabilne także wtedy? warunek dotyczący zer nie jest spełniony. Podkreślił to Miller w ważnym artykule z• [*?& str. 63 - 98.

Pytania przeglądowe

1. Wyprowadzić wyrażenie dla rozwiązania ogólnego równania różnicowego i^|niŁlV,r^ i jednorodnego o stałych współczynnikach. (Założyć, że równanie charaktcrysty^CZTkJ tylko pierwiastki pojedyncze.)