Elektronika W Zad cz 3 

w Ciążyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH

Część 5: Idealne wzmacniacze operacyjne w zastosowaniach liniowych

uwzględniamy w macierzy. Nie zwiększa to liczby węzłów, a dzięki temu będziemy mogli uważać, że analizowany układ pracuje bez obciążenia zewnętrznego i stosować odpowiadające tej sytuacji prostsze wzory.

Etap 2. Każdy z liczby s WO występujących w układzie uwzględniamy w macierzy w taki sposób, że:

•    w macierzy uzyskanej w punkcie 1 skreślamy wiersz odpowiadający węzłowi (do którego jest podłączone jego wyjście OUT /-tego WO);

•    kolumnę macierzy odpowiadającą węzłowi (do którego jest podłączone wejście odwracające II z-tego WO) dodajemy do kolumny odpowiadającej węzłowi li (do którego jest podłączone wejście nieodwracające NI tego samego WO), po czym kolumnę ki skreślamy.

Jeśli wejściom II i NI każdego wzmacniacza będziemy nadawać kolejne numery, odpowiadające im kolumny macierzy będą ze sobą sąsiadować i powyższą zasadę można sformułować prościej: dla każdego z s WO należy dodać do siebie w każdym wierszu macierzy admitancje leżące w kolumnach o numerach odpowiadających jego węzłom Ili NU umieścić te sumy admitancji jako elementy jednej wspólnej kolumny. Jak widać wtedy podczas tej procedury nie musimy zastanawiać się nad tym, które wejście jest wejściem //, a które NI.

Z drugiej strony uświadamia nam to fakt, że uzyskana macierz jest taka sama dla układu, który przy zachowaniu numeracji węzłów ma zamienione pomiędzy sobą wejścia danego wzmacniacza. Zamiana wejść oznacza jednak zmianę charakteru sprzężenia zwrotnego, tzn. sprzężenie które dla jednej konfiguracji było ujemne, po zamianie wejść staje się dodatnie. Rozwiązanie (np. wartość wzmocnienia napięciowego lub rezystancji wejściowe), które otrzymamy na podstawie obliczenia dopełnień algebraicznych naszej macierzy będzie opisywało tylko układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Tylko taki układ może być liniowy (tylko w takim układzie obowiązuje zasada superpozycji), czyli można go opisać układem równań liniowych, a przypomnijmy że macierz admitancyjna jest tylko sposobem zapisu układu równań liniowych. Dla układu z dwoma WO mamy taką samą macierz dla czterech możliwych konfiguracji wejść obydwu WO, dla trzech WO takich możliwości układowych jest osiem, itd.

W opisany sposób stopień macierzy admitancyjnej układu o n węzłach zawierającego s wzmacniaczy równy po pierwszym etapie n zmniejsza się o s i wynosi n-s. Uzyskaną macierz uwzględniającą obecność WO w układzie nazywamy macierzą okrojoną (ang. abridged matrix).

Rys. W5.14 Liniowy n-biegunnik z idealnymi WO, opisany macierzą admitancyjną [Y], jako czwómik bez obciążenia, z zewnętrznym obwodem sterowania

Etap 3. Wszystkie parametry analizowanego układu można wyznaczyć na podstawie zależności podanych w tabeli W3.7 we Wprowadzeniu do 3. części zbioru, obliczając dopełnienia algebraiczne elementów macierzy okrojonej. Poniżej przedstawiona tabela W5.1 jest fragmentem tabeli W3.7, zawiera tylko wykorzystywane w tej części zbioru zależności dla biegu jałowego, opisujące sytuację pokazaną na rysunku W5.14, tzn. węzeł

wejściowy układu oznaczony symbolem a, węzeł wyjściowy symbolem b> a ew. obciążenie R_L uwzględnione w macierzy. Wszystkie zależności podane w tabeli W3.7 zachowują jednak ważność i Czytelnik w razie potrzeby może do nich sięgnąć.

Tabela W5.1

Wielkości charakterystyczne liniowego n-biegunnika z rysunku W5.14 _z idealnymi WO, opisanego macierzą admitancyjną |Vj_

L.p.	Wielkość	Definicja		Zależność
1	Transmitancja napięciowa w sianie biegu jałowego (bez obciążenia)	k° =	\ . ^U(l 9 “ o	A** am
2	Impedancja wejściowa w stanie biegu jałowego		/ \ ffa • >. )zL = °°	A
3	Impedancja wyjściowa	N •3 II		ZAbb +&aajbb z A+

W5.4.3 Praktyczne aspekty metody macierzy admitancyjnej dla idealnych WO

Przy stosowaniu metody macierzy admitancyjnej do analizy układów z idealnymi WO występują jednak pewne problemy praktyczne. Najważniejsze z nich to problem ustalenia właściwego znaku dopełnień algebraicznych oraz przypadek podwójnego skreślania tej samej kolumny.

Problem znaku dopełnień algebraicznych

Problem ten jest ważny, gdyż od znaku jakiegoś dopełnienia algebraicznego zależy znak transmitancji, czyli np. to czy jakiś układ jest wzmacniaczem odwracającym, czy nieodwracającym. Najczęściej znak transmitancji jest oczywiście znany, ale aby przedstawienie metody było pełne, musimy ten problem poniżej omówić.

Przypomnijmy, że przy obliczaniu wyznacznika macierzy np. metodą rozwinięcia wg wiersza, dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów tego wiersza otrzymują na przemian znaki plus i minus. W wyniku wykreślania wierszy i kolumn naturalna sekwencja, w której po liczbie nieparzystej następuje parzysta uległa zakłóceniu. Możliwe są dwa podejścia pozwalające na ominięcie tego problemu:

1.    Pierwsze rozwiązanie polega na przenumerowaniu wierszy i kolumn macierzy okrojonej, tj. na nadaniu im nowych kolejnych numerów. Numer wiersza i kolumny macierzy traci wtedy swój związek z numerem węzła układu, ale każde z obliczanych dopełnień algebraicznych uzyskuje właściwy znak. Wybór tej drogi postępowania oznacza przy korzystaniu ze wzorów tabeli W5.1 konieczność ustalenia nowych indeksów dopełnień algebraicznych (określających jego znak), odpowiadających położeniu węzła wejściowego i wyjściowego w macierzy okrojonej.

2.    Drugie rozwiązanie jest możliwe wtedy, gdy (a tak jest najczęściej) interesują nas nie wartości poszczególnych dopełnień algebraicznych, ale ich stosunki określające wzmocnienia lub rezystancje charakterystyczne układów. Jeśli (po włączeniu ew. obciążenia do macierzy) wykorzystujemy zależność Nr 1 z tabeli

-23-