1

Piotr LUDWIKOWSKI

2008/2009 Fizyka

8 kwietnia 2009

Środa, 17:15

dr I. Mróz

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA

METODĄ JEDNOSTRONNEGO ROZCIĄGANIA

Pomiary długości drutu:

Lp.

Długość drutu l/m

1

0,942

2

0,941

3

0,942

4

0,943

Pomiary średnicy drutu:

Lp.

Średnica drutu Φ

1

/m

1

0,00078

2

0,00077

3

0,00077

4

0,00077

5

0,00077

Pomiary średnicy wskazówki:

Lp.

Średnica wskazówki Φ

2

/m

1

0,00094

2

0,00094

3

0,00094

4

0,00093

5

0,00096

Podczas wykonywania doświadczenia, zauważono, że
wskazówka zajmuje na skali mikroskopu odczytowego
14 działek, zatem 1 działka to

.

Uwagi.
Dokładność pomiaru długości drutu: 1mm.

Niepewność pomiaru długości drutu: 1mm.
Dokładność pomiaru śred. drutu i wskazówki: 0,01mm.

Niepewność pomiaru śred. drutu i wskazówki: 0,01mm.
Błąd zerowy śruby mikrometrycznej: 0,02mm.

Pomiary przyrostu długości drutu:

Lp. Masa m, kg

Przyrost długości drutu dla

obciążenia rosnącego, Δl

1

/m

1

0,5

0,00000

2

1,5

0,00007

3

2,5

0,00021

4

3,5

0,00035

5

4,5

0,00049

6

5,5

0,00063

7

6,0

0,00070

8

6,5

0,00077

9

7,0

0,00077

Lp. Masa m, kg

Przyrost długości drutu dla

obciążenia malejącego, Δl

2

/m

1

7,0

0,00077

2

6,5

0,00070

3

6,0

0,00063

4

5,5

0,00056

5

4,5

0,00042

6

3,5

0,00028

7

2,5

0,00014

8

1,5

0,00000

9

0,5

0,00000

9

2

TEORIA

W równowadze trwałej ciało posiada minimum energii, czyli atomy muszą znajdować się w odległości r

o

. Każdej

zmianie długości r między atomami towarzyszy pojawienie się, tzw. sił spójności działających w kierunku przywrócenia
odległości r

o

(przy zmniejszeniu r pojawiają się siły odpychające, a przy zwiększeniu r przyciągające). Siły spójności

równoważą działające na to ciało siły zewnętrzne. Na przykład dwie równe co do wartości leżące na jednej prostej,
przyłożone do wspólnego punktu i przeciwnie skierowane siły nie mogą spowodować ruchu ciała, lecz działając na dwa
różne punkty rozerwałyby ciało, gdyby nie były zrównoważone siłami spójności działającymi również na dane punkty lecz

skierowanymi przeciwnie.

Ze zmianą odległości atomów wiąże się makroskopowa deformacja ciała zwana odkształceniem.

Gdy odkształcenie znika z chwilą usunięcia sił odkształcających, jest to odkształcenie sprężyste, a zjawisko to

nazywamy sprężystością. Takie odkształcenie, które nie znika po usunięciu siły nazywamy odkształceniem plastycznym, a
zjawisko to nazywamy analogicznie sprężystością. Siły zniekształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do
powierzchni.

Siły działające prostopadle do powierzchni nazywamy siłami normalnymi, zaś stosunek siły F

n

do powierzchni S, na

którą działają, nazywamy naprężeniem normalnym:

 

F

S

n

Miarą wielkości odkształcenia jest odkształcenie względne



, które jest stosunkiem zmiany długości



z do długości

początkowej z:







z

z

Siły deformujące mogą działać także stycznie do powierzchni. Stosunek siły stycznej F

s

do powierzchni S, na którą

działa, nazywamy naprężeniem stycznym:

 

F

S

s

W tym przypadku rolę względnego odkształcenia spełnia kąt ścinania



.

Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke’a, które mówi, że naprężenie jest proporcjonalne do

odkształcenia. W przypadku naprężenia stycznego prawo Hooke’a można wyrazić wzorem



=G



. Współczynnik G nazywa się

modułem sztywności.

W przypadku zaś naprężenia normalnego prawo to wyraża się wzorem



=E



, gdzie współczynnik

proporcjonalności E nazywa się modułem Younga.

Sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności.

W przypadku prostego wydłużenia, zajdzie to gdy z =



z, czyli gdy wydłużany np. drut zostanie rozciągnięty do swojej

podwójnej długości. W praktyce jest to rzadko osiągalne.

Moduł Younga łatwo można zmierzyć doświadczalnie. Ponieważ E =



/



= (F/q)/(



z/ z), gdzie q jest przekrojem

druta, znając początkową długość i średnicę druta, jak również obciążenie i zmianę jego długości, podstawiając wszystko do

wzoru, można łatwo wyznaczyć moduł Younga.

Prawo Hooke’a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Po przekroczeniu naprężenia zwanego granicą

proporcjonalności odkształcenie nie jest już zgodne z prawem Hooke’a. Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie,

po przekroczeniu którego ciało nie powraca już do poprzednich wymiarów z dokładnością do 0.003%. Granicą
wytrzymałości natomiast nazywamy takie naprężenie, przy którym ciało ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie,
rozcięcie itp.).

Śruba mikrometryczna pozwala mierzyć z dokładnością do 0,01 mm. Składa się ona z części nieruchomej, podziałki

1, oraz wrzecionka mikrometrycznego z podziałką 2. Górne kreski podziałki 1 oznaczają milimetry, a kreski poniżej linii
poziomej oznaczają połówki milimetrów. Zazwyczaj jeden pełny obrót wrzecionka odpowiada przesunięciu szczęki o 0,5
mm, a podziałka 2 jest podzielona od 0 do 50. Odczytując wskazanie mikromierza zapisać najpierw liczbę pełnych

milimetrów oraz zwrócić uwagę na to, czy na podziałce 1 jest już widoczna kreska odpowiadającej 0,5 mm. Jeżeli nie, to
wskazanie na podziałce wrzecionka jest równe liczbie setnych milimetra. gdy kreska oznaczająca 0,5 mm jest już widoczna,
wtedy do cyfry odczytanej z wrzecionka dodajemy 50. Wykonując pomiar, szczękę możemy dokręcić tylko małym

pokrętłem, które zaopatrzone jest w sprzęgło wyłączające obrót wrzecionka przy nadmiernym docisku, a tym samym
zabezpieczające gwint wrzecionka.

Przed przystąpieniem do pomiarów należy odczytać wskazanie zerowe, uzyskane po doprowadzeniu do zetknięcia

szczęk. Gdy jest ono różne od zera, wtedy do wszystkich odczytów należy wnieść odpowiednią poprawkę.

Tekst na podst. H

. Szydłowski, Pracownia fizyczna, R. Resnick D. Halliday, Fizyka Tom 1, oraz wiedzy własnej.

3

Opracowanie wyników pomiarów
Najpierw sporządzimy wykres zależności wydłużenia drutu od działającej siły. W tym celu musimy najpierw obliczyć

tę siłę z wzoru:

Oto wyniki:

Masa m/kg

Siła F/N

0,5

4,91

1,5

14,72

2,5

24,53

3,5

34,34

4,5

44,15

5,5

53,96

6,0

58,86

6,5

63,77

7,0

68,67

Do obliczeń przyjęto wartość przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s

2

Potrzebujemy także obliczyć średnie wydłużenie dla danej siły:

Lp.

Siła F, N

Przyrost długości drutu dla

obciążenia rosnącego, Δl

1

, m

Przyrost długości drutu dla

obciążenia malejącego, Δl

2

, m

Średni przyrost

długości drutu Δl, m

1

4,91

0,00000

0,00000

0,00000

2

14,72

0,00007

0,00000

0,00004

3

24,53

0,00021

0,00014

0,00018

4

34,34

0,00035

0,00028

0,00032

5

44,15

0,00049

0,00042

0,00046

6

53,96

0,00063

0,00056

0,00056

7

58,86

0,00070

0,00063

0,00067

8

63,77

0,00077

0,00070

0,00074

9

68,67

0,00077

0,00077

0,00077

4

Δl= 10

-5

F - 0,00011

-0,00010

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

0,00070

0,00080

0,00090

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

p

rzy

ro

st

d

lu

go

ści

d

ru

tu

Δ

l,

m

siła F, N

Średni przyrost długości drutu

Średni przyrost długości drutu

5

Za niepewność pomiaru Δl przyjęto – u(Δl) = 0,01 mm.
Spróbujemy teraz obliczyć moduł Younga. Wiemy, że średnica drutu wynosiła Φ

1

= 0, 00077 m, u(Φ

1

) =0,00001 m,

zatem możemy obliczyć pole powierzchni jego przekroju z wzoru:

Wiemy, że początkowa długość drutu wynosiła 0,942 m i znamy jego przekrój. Policzymy moduł Younga dla każdego

pomiaru, a następnie wyciągniemy średnią. Skorzystamy przy tym z wzoru:

Lp.

Siła F, N

Średni przyrost długości drutu Δl, m

Moduł Younga E, Pa

1

4,91

0,00004

3,72∙10

11

2

14,72

0,00018

1,38∙10

11

3

24,53

0,00032

1,09 ∙10

11

4

34,34

0,00046

9,71∙10

10

5

44,15

0,00056

9,74∙10

10

6

53,96

0,00067

8,89∙10

10

7

58,86

0,00074

8,72∙10

10

8

63,77

0,00077

9,02∙10

10

Średnia wartość z pomiarów wynosi:

Pozostaje nam znaleźć niepewność standardową. W tym przypadku obliczymy ją jako odchylenie średniej:

gdzie E

i

oznacza moduł Younga wyliczony dla konkretnego pomiaru (dane z tabeli powyżej). Dostajemy:

Moduł Younga wyznaczony w naszym doświadczeniu wynosi zatem:

WNIOSKI:
W wykonanym doświadczeniu prawo Hooke’a obowiązuje w całym zakresie badanych obciążeń. Drut wraca

bowiem zawsze do swej początkowej długości. Obrazuje to wykonany przez nas wykres zawarty w

sprawozdaniu. Wartość modułu Younga wyznaczona w doświadczeniu wyniosła

E = 1,38∙10

11

Pa, u

c

(E) = 3,44∙10

10

Pa. Na podstawie Tablic fizycznych; Witold Mizerski Piotr Żmijewski , Jacek

Litwin , Andrzej Okołów Wojciech Nowaczek; Wyd. Adamantan 2002, można stwierdzić, że drut jest wykonany

z miedzi.
Standardowa niepewność pomiarowa moim zdaniem jest całkiem duża, na co wpływ może mieć moja zdolność

dostrzegania gdzie znajduje się wskazówka na podziałce mikroskopu, poza tym podczas wykonywania

ćwiczenia zauważyłem, że jest ona nieco ugięta w dół.