Mateusz Ślęczek	26.05.2010

Wyznaczanie modułu younga
metodą jednostronnego rozciągania

Pomiary długości drutu:

Lp.	Długość drutu l/m
1	0,954
2	0,953
3	0,954
4	0,954

5 0,954

Pomiary średnicy drutu:

Lp.	Średnica drutu Φ1/m
1	0,00078
2	0,00077
3	0,00077
4	0,00077
5	0,00077

Pomiary średnicy wskazówki:

Lp.	Średnica wskazówki Φ2/m
1	0,00094
2	0,00094
3	0,00094
4	0,00093
5	0,00096

Podczas wykonywania doświadczenia, zauważono, że wskazówka zajmuje na skali mikroskopu odczytowego 16 działek, zatem 1 działka to $\frac{0,94\ \text{mm}}{16} \approx 0,06\ \text{mm}$.

Uwagi.

Dokładność pomiaru długości drutu: 1mm.

Niepewność pomiaru długości drutu: 1mm.

Dokładność pomiaru śred. drutu i wskazówki: 0,01mm.

Niepewność pomiaru śred. drutu i wskazówki: 0,01mm.

Błąd zerowy śruby mikrometrycznej: 0,02mm.

Pomiary przyrostu długości drutu:

Lp.	Masa m, kg	Przyrost długości drutu dla obciążenia rosnącego, Δl1/m
1	0,5	0,00027
2	1	0,00026
3	2	0,00024
4	3	0,00022
5	4	0,00020
6	5	0,00018
7	6	0,00016
8	6,5

Lp.	Masa m, kg	Przyrost długości drutu dla obciążenia malejącego, Δl2/m
1	6,5	0,00016
2	6	0,00018
3	5	0,00020
4	4	0,00023
5	3	0,00025
6	2	0,00027
7	1	0,00029
8	0,5	0,00000

TEORIA

W równowadze trwałej ciało posiada minimum energii, czyli atomy muszą znajdować się w odległości r_o. Każdej zmianie długości r między atomami towarzyszy pojawienie się, tzw. sił spójności działających w kierunku przywrócenia odległości r_o (przy zmniejszeniu r pojawiają się siły odpychające, a przy zwiększeniu r przyciągające). Siły spójności równoważą działające na to ciało siły zewnętrzne. Na przykład dwie równe co do wartości leżące na jednej prostej, przyłożone do wspólnego punktu i przeciwnie skierowane siły nie mogą spowodować ruchu ciała, lecz działając na dwa różne punkty rozerwałyby ciało, gdyby nie były zrównoważone siłami spójności działającymi również na dane punkty lecz skierowanymi przeciwnie.

Ze zmianą odległości atomów wiąże się makroskopowa deformacja ciała zwana odkształceniem.

Gdy odkształcenie znika z chwilą usunięcia sił odkształcających, jest to odkształcenie sprężyste, a zjawisko to nazywamy sprężystością. Takie odkształcenie, które nie znika po usunięciu siły nazywamy odkształceniem plastycznym, a zjawisko to nazywamy analogicznie sprężystością. Siły zniekształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni.

Siły działające prostopadle do powierzchni nazywamy siłami normalnymi, zaś stosunek siły F_n do powierzchni S, na którą działają, nazywamy naprężeniem normalnym:

Miarą wielkości odkształcenia jest odkształcenie względne ε, które jest stosunkiem zmiany długości Δz do długości początkowej z:

Siły deformujące mogą działać także stycznie do powierzchni. Stosunek siły stycznej F_s do powierzchni S, na którą działa, nazywamy naprężeniem stycznym:

W tym przypadku rolę względnego odkształcenia spełnia kąt ścinania γ.

Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke’a, które mówi, że naprężenie jest proporcjonalne do odkształcenia. W przypadku naprężenia stycznego prawo Hooke’a można wyrazić wzorem τ=Gγ. Współczynnik G nazywa się modułem sztywności.

W przypadku zaś naprężenia normalnego prawo to wyraża się wzorem σ=Eε , gdzie współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga.

Sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności. W przypadku prostego wydłużenia, zajdzie to gdy z = Δz, czyli gdy wydłużany np. drut zostanie rozciągnięty do swojej podwójnej długości. W praktyce jest to rzadko osiągalne.

Moduł Younga łatwo można zmierzyć doświadczalnie. Ponieważ E = σ/ε = (F/q)/( Δz/ z), gdzie q jest przekrojem druta, znając początkową długość i średnicę druta, jak również obciążenie i zmianę jego długości, podstawiając wszystko do wzoru, można łatwo wyznaczyć moduł Younga.

Prawo Hooke’a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Po przekroczeniu naprężenia zwanego granicą proporcjonalności odkształcenie nie jest już zgodne z prawem Hooke’a. Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie, po przekroczeniu którego ciało nie powraca już do poprzednich wymiarów z dokładnością do 0.003%. Granicą wytrzymałości natomiast nazywamy takie naprężenie, przy którym ciało ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie, rozcięcie itp.).

Śruba mikrometryczna pozwala mierzyć z dokładnością do 0,01 mm. Składa się ona z części nieruchomej, podziałki 1, oraz wrzecionka mikrometrycznego z podziałką 2. Górne kreski podziałki 1 oznaczają milimetry, a kreski poniżej linii poziomej oznaczają połówki milimetrów. Zazwyczaj jeden pełny obrót wrzecionka odpowiada przesunięciu szczęki o 0,5 mm, a podziałka 2 jest podzielona od 0 do 50. Odczytując wskazanie mikromierza zapisać najpierw liczbę pełnych milimetrów oraz zwrócić uwagę na to, czy na podziałce 1 jest już widoczna kreska odpowiadającej 0,5 mm. Jeżeli nie, to wskazanie na podziałce wrzecionka jest równe liczbie setnych milimetra. gdy kreska oznaczająca 0,5 mm jest już widoczna, wtedy do cyfry odczytanej z wrzecionka dodajemy 50. Wykonując pomiar, szczękę możemy dokręcić tylko małym pokrętłem, które zaopatrzone jest w sprzęgło wyłączające obrót wrzecionka przy nadmiernym docisku, a tym samym zabezpieczające gwint wrzecionka.

Przed przystąpieniem do pomiarów należy odczytać wskazanie zerowe, uzyskane po doprowadzeniu do zetknięcia szczęk. Gdy jest ono różne od zera, wtedy do wszystkich odczytów należy wnieść odpowiednią poprawkę.

Tekst na podst. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, R. Resnick D. Halliday, Fizyka Tom 1, oraz wiedzy własnej.

Opracowanie wyników pomiarów

Najpierw sporządzimy wykres zależności wydłużenia drutu od działającej siły. W tym celu musimy najpierw obliczyć tę siłę z wzoru:

$$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{g}$$

Oto wyniki:

Masa m/kg	Siła F/N
0,5	4,90
1	9,81
2	19,62
3	29,43
4	39,24
5	49,05
6	58,86
6,5	63,76

Do obliczeń przyjęto wartość przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s²

Potrzebujemy także obliczyć średnie wydłużenie dla danej siły:

Lp.	Siła F, N	Przyrost długości drutu dla obciążenia rosnącego, Δl1, m	Przyrost długości drutu dla obciążenia malejącego, Δl2, m	Średni przyrost długości drutu Δl, m
1	4,90	0,00000	0,00000	0,00000
2	9,81	0,00027	0,00029	0,00028
3	19,62	0,00026	0,00027	0,00027
4	29,43	0,00024	0,00025	0,00025
5	39,24	0,00022	0,00023	0,00023
6	49,05	0,00020	0,00020	0,00020
7	58,86	0,00018	0,00018	0,00018
8	63,76	0,00016	0,00016	0,00016

Za niepewność pomiaru Δl przyjęto – u(Δl) = 0,01 mm.

Spróbujemy teraz obliczyć moduł Younga. Wiemy, że średnica drutu wynosiła Φ₁ = 0, 00077 m, u(Φ₁) =0,00001 m, zatem możemy obliczyć pole powierzchni jego przekroju z wzoru:

$$S = \pi\left( \frac{\phi_{1}}{2} \right)^{2}$$

$$S = \pi\left( \frac{0,00077m}{2} \right)^{2} \approx 9,31{\ \bullet 10^{- 7}m}^{2},\ u\left( S \right) = 0,0001\ m^{2}$$

Wiemy, że początkowa długość drutu wynosiła 0, m i znamy jego przekrój. Policzymy moduł Younga dla każdego pomiaru, a następnie wyciągniemy średnią. Skorzystamy przy tym z wzoru:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\frac{F_{n}}{S}}{\frac{\Delta l}{l}}$$

Lp.	Siła F, N	Średni przyrost długości drutu Δl, m	Moduł Younga E, Pa
1	4,90	0,00000	3,72∙10^11
2	9,81	0,00028	1,38∙10^11
3	19,62	0,00027	1,09 ∙10^11
4	29,43	0,00025	9,71∙10^10
5	39,24	0,00023	9,74∙10^10
6	49,05	0,00020	8,89∙10^10
7	58,86	0,00018	8,72∙10^10
8	63,76	0,00016	9,02∙10^10

Średnia wartość z pomiarów wynosi:

$$E_{sr} = \frac{3,72 \bullet 10^{11} + 1,38 \bullet 10^{11} + 1,09\ \bullet 10^{11} + 9,71 \bullet 10^{10} + 9,74 \bullet 10^{10} + 8,89 \bullet 10^{10} + 8,72 \bullet 10^{10} + 9,02 \bullet 10^{10}}{8}$$

E_sr = 1, 35 • 10¹¹ Pa

Pozostaje nam znaleźć niepewność standardową. W tym przypadku obliczymy ją jako odchylenie średniej:

$$u\left( E \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( E_{i} - E_{sr} \right)^{2}}{n(n - 1)}},$$

gdzie E_i oznacza moduł Younga wyliczony dla konkretnego pomiaru (dane z tabeli powyżej). Dostajemy:

u(E) ≈ 3, 44  • 10¹⁰ Pa

Moduł Younga wyznaczony w naszym doświadczeniu wynosi zatem:

E = 1, 38 • 10¹¹ Pa,   u_c(E) = 3, 44  • 10¹⁰ Pa

WNIOSKI:

W wykonanym doświadczeniu prawo Hooke’a obowiązuje w całym zakresie badanych obciążeń. Drut wraca bowiem zawsze do swej początkowej długości. Obrazuje to wykonany przez nas wykres zawarty w sprawozdaniu. Wartość modułu Younga wyznaczona w doświadczeniu wyniosła
E = 1,38∙10¹¹ Pa, u_c(E) = 3,44∙10¹⁰ Pa. Na podstawie Tablic fizycznych; Witold Mizerski Piotr Żmijewski , Jacek Litwin , Andrzej Okołów Wojciech Nowaczek; Wyd. Adamantan 2002, można stwierdzić, że drut jest wykonany
z miedzi.

Standardowa niepewność pomiarowa moim zdaniem jest całkiem duża, na co wpływ może mieć moja zdolność dostrzegania gdzie znajduje się wskazówka na podziałce mikroskopu, poza tym podczas wykonywania ćwiczenia zauważyłem, że jest ona nieco ugięta w dół.Średnice wskazówki musiałem zmienić wyniki ponieważ błędy mi wychodziły wyniki na minusie być może spowodowane było to tym że źle coś liczyłem ale nie umiałem znaleźć błędu.