| Piotr LUDWIKOWSKI | |
|---|---|
| 2008/2009 Fizyka | 18 marca 2009 |
| Środa, 17:15 | dr M. Kuchowicz |
Okres drgań wahadła T, bez dodatkowej masy m (samego pręta), z płytką na pręcie wahadła skierowaną równolegle do płaszczyzny ruchu wahadła (mały opór powietrza):
| Lp. | czas 20T, s | dokł. Δ20T | okres T, s (na podst. obl.) |
|---|---|---|---|
| 1 | 23,13 | 0,2 | 1,2 |
| 2 | 23,25 | 0,2 | 1,2 |
| 3 | 23,13 | 0,2 | 1,2 |
Okres drgań wahadła T, bez dodatkowej masy m (samego pręta), z płytką na pręcie wahadła ustawioną prostopadle do płaszczyzny ruchu wahadła (duży opór powietrza):
| Lp. | czas 20T, s | dokł. Δ20T | okres T, s (na podst. obl.) |
|---|---|---|---|
| 1 | 23,16 | 0,2 | 1,2 |
| 2 | 23,18 | 0,2 | 1,2 |
| 3 | 23,06 | 0,2 | 1,2 |
Amplituda co drugiego wychylenia (aż do zaniku drgań) dla wahadła z płytką skierowaną prostopadle do kierunku drgań:
| amplituda wychylenia x, cm |
|---|
| Lp. |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 8 |
| 9 |
| 10 |
| 11 |
| 12 |
| 13 |
| 14 |
Okres drgań wahadła T, z dodatkową masą m i z płytką na pręcie wahadła skierowaną równolegle do płaszczyzny ruchu wahadła (mały opór powietrza):
| Lp. | czas 20T, s | dokł. Δ20T | okres T, s (na podst. obl.) |
|---|---|---|---|
| 1 | 26,09 | 0,2 | 1,3 |
Okres drgań wahadła T, z dodatkową masą m i z płytką na pręcie wahadła skierowaną prostopadle do płaszczyzny ruchu wahadła (duży opór powietrza):
| Lp. | czas 20T, s | dokł. Δ20T | okres T, s (na podst. obl.) |
|---|---|---|---|
| 1 | 25,97 | 0,2 | 1,3 |
TEORIA:
Ruch harmoniczny prosty.
Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F, proporcjonalnej do wychylenia x, lecz przeciwnie skierowanej:
F = −kx |
(1) |
|---|
Ruch harmoniczny prosty opisujemy równaniem:
x = Asin(ωt+φ) |
(2) |
|---|
gdy ciało zaczyna ruch z położenia równowagi, lub
x = Acos(ωt + φ) |
(3) |
|---|
gdzie A – amplituda, ω – częstość kołowa, t – czas, φ – kąt (faza początkowa).
Przykładem ruchu harmonicznego może być wahadło w zegarze lub samochód wpadający w dziurę (jeżeli ma dobre amortyzatory, to drgania szybko zostaną wytłumione).
Ruch harmoniczny tłumiony.
Tłumieniem nazywamy powolne malenie amplitudy drgań w czasie, spowodowane utratą energii na skutek tarcia, oporu powietrza itp. Istnienie takich strat możemy uwzględnić poprzez dołączenie do równania ruchu składnika odpowiedzialnego za tłumienie. Dla niewielkich prędkości, składnik ten, zwany momentem tłumiącym jest proporcjonalny do prędkości kątowej.
Ruch harmoniczny tłumiony (gdy ciało zaczyna ruch z położenia maksymalnego wychylenia) opisujemy równaniem:
x = Ae−βtcos(ωt + φ) |
(4) |
|---|
gdzie e-βt nazywamy amplitudą drgań, która maleje wykładniczo w czasie. Nowa częstość kołowa wynosi teraz:
$$\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$$ |
(5) |
|---|
gdzie ω0 oznacza częstość kołową drgań własnych z którą układ drgałby swobodnie przy braku oporów ośrodka, a β współczynnik tłumienia. Wprowadzając czas relaksacji:
$$\tau = \frac{1}{2\beta}$$ |
(6) |
|---|
amplitudę można zapisać w postaci:
$$Ae^{- \text{βt}} = Ae^{\frac{- t}{2\tau}}$$ |
(7) |
|---|
Stąd wynika, że po upływie czasu t = 2τ amplituda drgań maleje do 1/e wartości początkowej. Dodatkową wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud w chwili
t i t+T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą λ możemy zapisać:
$$\lambda = \ln\frac{Ae^{- \text{βt}}}{Ae^{- \beta(t + T)}} = \ln e^{\text{βT}}$$ |
(8) |
|---|
a podstawieniu czasu relaksacji: λ = T/2τ i β = 1/2τ:
Jeżeli przez N oznaczymy liczbę drgań po wykonaniu których amplituda maleje do 1/e wartości początkowej otrzymujemy zależność:
$$\lambda = \ \text{βT} = \frac{T}{2\tau} = \frac{1}{N}$$ |
(9) |
|---|
A zatem logarytmiczny dekrement tłumienia jest również wielkością fizyczną równą odwrotności liczby drgań po upływie których amplituda zmniejsza się e-krotnie.
Opracowanie wyników:
Obliczam wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia λ drgań jako logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud a następnie na podst. wzoru (9) oraz okresu wyznaczonego z pomiarów, obliczam wartość współczynnika tłumienia β:
| Lp. | amplituda wychylenia x, cm dla wahadła z dodatkową masą m | logarytmiczny dekrement tłumienia λ | współczynnik tłumienia $\mathbf{\beta =}\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{T}}$ (T = 1,3 s) |
Lp. |
|
logarytmiczny dekrement tłumienia λ | współczynnik tłumienia $\mathbf{\ \beta =}\frac{\mathbf{\lambda}}{\mathbf{T}}$ (T = 1,2 s) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 30 | $$\ln\frac{30}{26} \approx 0,14$$ |
$$\beta = \frac{0,14}{1,3} \approx 0,11$$ |
1 | 30 | $$\ln\frac{30}{20} \approx 0,4$$ |
$$\beta = \frac{0,4}{1,2} \approx 0,33$$ |
| 2 | 26 | 2 | 20 | ||||
| 3 | 22 | $$\ln\frac{26}{22} \approx 0,17$$ |
$$\beta = \frac{0,17}{1,3} \approx 0,13$$ |
3 | 15 | $$\ln\frac{20}{15} \approx 0,28$$ |
$$\beta = \frac{0,28}{1,2} \approx 0,23$$ |
| 4 | 18 | $$\ln\frac{22}{18} \approx 0,2$$ |
$$\beta = \frac{0,2}{1,3} \approx 0,15$$ |
4 | 11 | $$\ln\frac{15}{11} \approx 0,31$$ |
$$\beta = \frac{0,31}{1,2} \approx 0,26$$ |
| 5 | 16 | $$\ln\frac{18}{16} \approx 0,12$$ |
$$\beta = \frac{0,12}{1,3} \approx 0,09$$ |
5 | 8 | $$\ln\frac{11}{8} \approx 0,3$$ |
$$\beta = \frac{0,3}{1,2} \approx 0,25$$ |
| 6 | 14 | $$\ln\frac{16}{14} \approx 0,13$$ |
$$\beta = \frac{0,13}{1,3} \approx 0,1$$ |
6 | 7 | $$\ln\frac{8}{7} \approx 0,13$$ |
$$\beta = \frac{0,13}{1,2} \approx 0,11$$ |
| 7 | 12 | $$\ln\frac{14}{12} \approx 0,15$$ |
$$\beta = \frac{0,15}{1,3} \approx 0,12$$ |
7 | 5,5 | $$\ln\frac{7}{5,5} \approx 0,24$$ |
$$\beta = \frac{0,24}{1,2} \approx 0,2$$ |
| 8 | 10 | $$\ln\frac{12}{10} \approx 0,18$$ |
$$\beta = \frac{0,18}{1,3} \approx 0,14$$ |
8 | 4,5 | $$\ln\frac{5,5}{4,5} \approx 0,2$$ |
$$\beta = \frac{0,2}{1,2} \approx 0,02$$ |
| 9 | 9 | $$\ln\frac{10}{9} \approx 0,11$$ |
$$\beta = \frac{0,11}{1,3} \approx 0,08$$ |
9 | 3,5 | $$\ln\frac{4,5}{3,5} \approx 0,25$$ |
$$\beta = \frac{0,25}{1,2} \approx 0,21$$ |
| 10 | 8,5 | $$\ln\frac{9}{8,5} \approx 0,06$$ |
$$\beta = \frac{0,06}{1,3} \approx 0,05$$ |
10 | 3 | $$\ln\frac{3,5}{3} \approx 0,15$$ |
$$\beta = \frac{0,15}{1,2} \approx 0,13$$ |
| 11 | 8 | $$\ln\frac{8,5}{8} \approx 0,06$$ |
$$\beta = \frac{0,06}{1,3} \approx 0,05$$ |
11 | 2,5 | $$\ln\frac{3}{2,5} \approx 0,18$$ |
$$\beta = \frac{0,18}{1,2} \approx 0,15$$ |
| 12 | 7 | $$\ln\frac{8}{7} \approx 0,13$$ |
$$\beta = \frac{0,13}{1,3} \approx 0,1$$ |
12 | 2 | $$\ln\frac{2,5}{2} \approx 0,22$$ |
$$\beta = \frac{0,22}{1,2} \approx 0,18$$ |
| 13 | 6,5 | $$\ln\frac{7}{6,5} \approx 0,07$$ |
$$\beta = \frac{0,07}{1,3} \approx 0,05$$ |
13 | 2 | $$\ln\frac{2}{2} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,2} \approx 0$$ |
| 14 | 6 | $$\ln\frac{6,5}{6} \approx 0,08$$ |
$$\beta = \frac{0,08}{1,3} \approx 0,06$$ |
14 | 2 | $$\ln\frac{2}{2} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,2} \approx 0$$ |
| 15 | 5 | $$\ln\frac{6}{5} \approx 0,18$$ |
$$\beta = \frac{0,18}{1,3} \approx 0,14$$ |
UWAGA. Do obliczeń na następnej stronie wybrałem tylko wartości β z przedziału (0,05; 0,15), i tylko te wartości ln (λ), które mieszczą się w przedziale i tylko wartości β z przedziału [0,15; 0,25], oraz tylko te wartości ln (λ), które mieszczą się w przedziale [0,2; 0,3] – dla wahadła bez dodatkowej masy. |
|||
| 16 | 5 | $$\ln\frac{5}{4,5} \approx 0,11$$ |
$$\beta = \frac{0,11}{1,3} \approx 0,08$$ |
||||
| 17 | 4,5 | $$\ln\frac{4,5}{4} \approx 0,12$$ |
$$\beta = \frac{0,12}{1,3} \approx 0,01$$ |
||||
| 18 | 4 | $$\ln\frac{4}{4} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,3} \approx 0$$ |
||||
| 19 | 4 | $$\ln\frac{4}{3,5} \approx 0,13$$ |
$$\beta = \frac{0,13}{1,3} \approx 0,1$$ |
||||
| 20 | 3,5 | $$\ln\frac{3,5}{3} \approx 0,15$$ |
$$\beta = \frac{0,15}{1,3} \approx 0,12$$ |
||||
| 21 | 3 | $$\ln\frac{3}{3} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,3} \approx 0$$ |
||||
| 22 | 3 | $$\ln\frac{3}{3} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,3} \approx 0$$ |
||||
| 23 | 3 | $$\ln\frac{3}{3} \approx 0$$ |
$$\beta = \frac{0}{1,3} \approx 0$$ |
Obliczmy teraz standardową niepewność pomiarową, dla wyznaczonych wielkości λ i β. w tym celu potrzebujemy obliczyć najpierw znać λśrednie oraz βśrednie (najpierw dla wahadła z dodatkową masą):
$$\lambda_{sr} = \frac{0,17 + 0,2 + 0,18 + 0,18 +}{4}$$
λsr ≈ 0, 18
$$\beta_{sr}\mathbf{=}\frac{0,11 + 0,13 + 0,09 + 0,1 + 0,12 + 0,14 + 0,08 + 0,1 + 0,06 + 0,14 + 0,08 + 0,1 + 0,12}{13}$$
βsr ≈ 0, 11
Aby wyliczyć standardową niepewność pomiarową korzystamy ze wzoru:
$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n23}\left( \lambda_{i} - \lambda_{sr} \right)}{n(n - 1)}}$$
Ze względu na gigantyczną postać równania po podstawieniu, nie będę go tu prezentował tychże podstawień. Po wykonaniu powyższej operacji dostajemy:
u(λ) ≈ 0, 009
Teraz spróbujmy to samo zrobić dla stałej tłumienia β:
$$u\left( \beta \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n23}\left( \beta_{i} - \beta_{sr} \right)}{n(n - 1)}}$$
u(β) ≈ 0, 007
Teraz te same obliczenia wykonamy dla wahadła bez dodatkowej masy:
$$\lambda_{sr} = \frac{0,28 + 0,3 + 0,24 + 0,2 + 0,25}{5}$$
λsr ≈ 0, 25
$$\beta_{sr} = \frac{0,23 + + 0,25 + 0,2 + 0,21 + 0,15 + 0,18}{6}$$
βsr ≈ 0, 2
Aby wyliczyć standardową niepewność pomiarową ponownie korzystamy ze wzoru:
$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n23}\left( \lambda_{i} - \lambda_{sr} \right)}{n(n - 1)}}$$
u(λ) ≈ 0, 02
Dokładnie tak samo postępujemy dla stałej tłumienia β:
$$u\left( \beta \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n23}\left( \beta_{i} - \beta_{sr} \right)}{n(n - 1)}}$$
u(β) ≈ 0, 01
WNIOSKI:
Logarytmiczny dekrement tłumienia zależy od masy. Średnia wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia w przypadku, gdy badamy wahadło bez dodatkowej masy jest większa, niż wtedy, gdy wahadło jest obciążone, co implikuje nam, że drgania wahadła cięższego są słabiej tłumione. Świadczy o tym również wartość stałej tłumienia.
Standardowa niepewność pomiarów zarówno dla λ jak i dla β jest większa w przypadku wahadła nieobciążonego, co wynika z mniejszej ilości przeprowadzonych pomiarów, gdyż drgania zostały niemal dwukrotnie szybciej stłumione.
Odchylenia dla logarytmicznego dekrementu tłumienia oraz stałej tłumienia są największe na początku drgań, gdy amplituda jest największa i na końcu, gdy amplituda zanika.