Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	25 marca 2009
Środa, 17:15	dr M. Kuchowicz

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ STATYCZNĄ

Pomiary pomocnicze wykonane podczas doświadczenia (1):

Lp.	Długość drutu l, cm
1	98,6
Lp.	Grubość drutu d, mm
1	3,96
2	3,98
3	3,97
4	3,97
5	3,98
6	3,98
7	3,97
8	3,96
9	3,98
10	3,98
Lp.	Średnica tarczy φ, cm (podana w instrukcji)
1	20

Wyjaśnienia:

W tabeli (2) podano wartość ψ zmierzoną wraz z początkowym skręceniem ψ₀ = -1°. Aby znaleźć faktyczne skręcenie należy do czytanej z urządzenia wartości dodać 1°. Taka też wartość została wykorzystana do obliczeń.

W tabeli (3) podano wartość ψ zmierzoną wraz z końcowym skręceniem ψ_k = -2,5°. Aby znaleźć faktyczne skręcenie należy do czytanej z urządzenia wartości dodać 2,5°. Taka też wartość została wykorzystana do obliczeń.

W tabelach (2) i (3) wartość siły F została obliczona ze wzoru F = mg (masa ciężarka ∙ przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m/s²).

Średnia wartość grubości drutu wyniosła

$$\overset{\overline{}}{d} = \frac{2 \bullet 3,96 + 3 \bullet 3,97 + 5 \bullet 3,98}{10} \approx 3,97\lbrack\text{mm}\rbrack$$

Uwaga: Dla zerowego obciążenia szalek, w obliczeniach przyjęto jednak zerowe skręcenie tarczy!
Skręcenie tarczy dla obciążeń rosnących (2):

Lp.	Masa ciężarka m, g	Siła F, N	Skręcenie tarczy ψ, °
0	-	-	-1°
1	10	0,1	(-4,5+1)°
2	20	0,2	(-8+1)°
3	30	0,29	(-10+1)°
4	40	0,39	(-14,5+1)°
5	50	0,5	(-17+1)°
6	60	0,59	(-21,5+1)°
7	70	0,69	(-26,5+1)°
8	80	0,78	(-27,5+1)°
9	90	0,88	(-31+1)°
10	100	1	(-34,5+1)°
11	110	1,08	(-40+1)°
12	120	1,18	(-42,5+1)°

Skręcenie tarczy dla obciążeń malejących (3):

Lp.	Masa ciężarka m, g	Siła F, N	Skręcenie tarczy ψ, °
1	110	1,08	(-42,5+2,5)°
2	100	1	(-39,5+2,5)°
3	90	0,88	(-33,5+2,5)°
4	80	0,78	(-29,5+2,5)°
5	70	0,69	(-27,5+2,5)°
6	60	0,59	(-25,5+2,5)°
7	50	0,5	(-20+2,5)°
8	40	0,39	(-17+2,5)°
9	30	0,29	(-14,5+2,5)°
10	20	0,2	(-9,5+2,5)°
11	10	0,1	(-7+2,5)°
12	-	-	-2,5°

Dokładność pomiaru:

• średnicy drutu: 0.01mm

• długości drutu: 0.1 cm

• średnicy tarczy: 0.002 cm

• odkształcenia: 0.5°

TEORIA:

Odkształcenie ciała jest spowodowane działaniem zrównoważonych sił lub zrównoważonych momentów sił. Gdy odkształcenie znika z chwilą usunięcia sił odkształcających, jest to odkształcenie sprężyste, a zjawisko to nazywamy sprężystością. Takie odkształcenie, które nie znika po usunięciu siły nazywamy odkształceniem plastycznym, a zjawisko to nazywamy analogicznie plastycznością. Siły zniekształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni.

Siły działające prostopadle do powierzchni nazywamy siłami normalnymi, zaś stosunek siły F_n do powierzchni S, na którą działają, nazywamy naprężeniem normalnym:

$$\sigma = \frac{F_{n}}{S}$$	(1)

Miarą wielkości odkształcenia jest odkształcenie względne ε, które jest stosunkiem zmiany długości Δz do długości początkowej z:

$$\varepsilon = \frac{z}{z}$$	(2)

Siły deformujące mogą działać także stycznie do powierzchni. Stosunek siły stycznej F_s do powierzchni S, na którą działa, nazywamy naprężeniem stycznym:

$$\tau = \frac{F_{s}}{S}$$	(3)

W tym przypadku rolę względnego odkształcenia spełnia kąt ścinania γ.

Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke’a, które mówi, że naprężenie jest proporcjonalne do odkształcenia. W przypadku naprężenia normalnego prawo to wyraża się wzorem σ = Eε , gdzie współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Natomiast w przypadku naprężenia stycznego prawo Hooke’a można wyrazić wzorem τ = Gγ. Tutaj współczynnik G nazywa się modułem sztywności. Prawo Hooke’a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Po przekroczeniu naprężenia zwanego granicą proporcjonalności odkształcenie nie jest już zgodne z prawem Hooke’a. “Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie, po przekroczeniu którego ciało nie powraca już do poprzednich wymiarów z dokładnością do 0.003%” (Szydłowski H., Pracownia Fizyczna). Granicą wytrzymałości natomiast nazywamy takie naprężenie, przy którym ciało ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie, itp).

Przy skręcaniu drutu, każdy jego element ulega deformacji prostego ścinania. Weźmy
na przykład cylindryczny wycinek drutu (pierścień) o promieniu wewnętrznym r’, grubości dr’ i długości l, króra jest równa długości całego drutu. Wtedy kąt ścinania γ wynosi (r’α)/ l, gdzie α jest względnym kątem obrotu jednego końca cylindra względem drugiego. Podstawiając powyższe do prawa Hooke’a dla naprężeń stycznych, otrzymujemy

$$\tau = G\frac{r'}{l}\alpha$$	(4)

Naprężenie styczne τ jest stosunkiem działającej siły stycznej dF_s do powierzchni przekroju pierścienia: S = 2πr’dr’. Wówczas powyższe równanie zmienia się na

$$\text{dF}_{s} = 2\pi dr'G\frac{r'}{l}\alpha$$	(5)

Mnożąc obustronnie przez r’ otrzymujemy moment siły dM, działający na pierścień:

$$dM = \frac{2\pi G}{l}\alpha{(r^{'})}^{3}\text{dr}$$	(6)

Sumując wszystkie pierścienie, tzn. całkując powyższe wyrażenie po r’ w granicach od r’ = 0 do r, otrzymujemy następujące wyrażenie na moment siły:

$$M = \frac{\text{πGr}^{4}}{2l}\alpha$$	(7)

W przypadku gdy chcemy wyznaczyć moduł sztywności metodą statyczną, za pośrednictwem przerzuconych przez bloczki dwóch równoległych nici skierowanych w przeciwnych kierunkach, wytwarzamy moment skręcający na tarczy o promieniu R, która przekazuje tenże moment drutowi. Wówczas tworzy się moment skręcający M = 2RF. Pamiętając o zależności F = mg, podstawiamy to do powyższego wzoru i otrzymujemy wzór na moduł sztywności skręcanego drutu:

$$G = \frac{4lRmg}{\text{πr}^{4}\alpha}$$	(8)

WYKONANIE EKSPERYMENTU:

W celu wyznaczenia modułu sztywności drutu, po ustawieniu i wypoziomowaniu urządzenia dokonano dziesięciu pomiarów średnicy drutu śrubą mikrometryczną. Średnia wartość średnicy drutu wyniosła w tym przypadku 3,97 mm. Następnie zmierzono długość drutu. Położenie początkowe tarczy (bez dodatkowego obciążenia) wynosiło -1°. Następnie obciążano szalki odważnikami, przy obciążeniach od 0 do 120 g co 10 g, za każdym razem notując kąt skręcenia tarczy względem wskaźnika. W celu zmniejszenia możliwego błędu, pomiary powtórzono także dla obciążeń malejących. Później sporządzono następujące wykresy:

Następnie policzono średnie skręcenie tarczy (dla obciążeń rosnących i malejących) w poniższej tabeli:

Lp.	Siła F, N	Skręcenie tarczy ψ1, °	Skręcenie tarczy ψ2, °	Średnie skręcenie tarczy ψ, °
0	0,0	0	0	0
1	0,10	-3,5	-4,5	-4
2	0,20	-7	-7	-7
3	0,29	-9	-12	-10,5
4	0,39	-13,5	-14,5	-14
5	0,49	-16	-17,5	-16,75
6	0,59	-20,5	-23	-21,75
7	0,69	-25,5	-25	-25,25
8	0,78	-26,5	-27	-26,75
9	0,88	-30	-31	-30,5
10	0,98	-33,5	-37	-35,25
11	1,08	-39	-40	-39,5
12	1,18	-41,5	-41,5	-41,5

Wykorzystując wzór:

$$\psi = \frac{\psi_{1} + \psi_{2}}{2}$$

N a podstawie powyższych danych i wykresów sporządzono nowy wykres dla średniego skręcenia tarczy (obciążenia rosnące i malejące):

Program MS Excel wyznaczył również proste regresji dla każdego z wykresów. Najbardziej interesujący dla nas jest pomiar uśredniony. W tym przypadku prosta ma równanie:

ψ = −34, 92F

Jak wiemy, w równaniu prostej, współczynnik a jest tangensem kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi OX, zatem tgα = -34,92, gdzie α – kąt nachylenia prostej do dodatniej półosi OX.

Możemy zatem obliczyć, jakie skręcenie powoduje siła o wartości 1N:

ψ = −34, 92 • 1 = −34, 92[]

OBLICZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI:

Przypomnijmy dane, jakie do tej pory uzyskaliśmy z doświadczenia:

l = 0,986 m (długość drutu)

r =0,001985 m (promień drutu)

α = -34,92°

Mając tę wiedzę możemy już przystąpić do obliczenia modułu sztywności G:

$$|G| = \frac{4\text{lRF}}{\text{πr}^{4}\alpha} = \frac{4 \bullet 0,986\ m \bullet 0,1\ m \bullet 1N}{{(0,001985\ m)}^{4} \bullet ( - 34.92) \bullet \pi \bullet \frac{\pi}{180}} \approx 1,3 \bullet 10^{10}\frac{N}{m^{2}}$$

Standardową niepewność pomiarową obliczymy metodą różniczki zupełnej:

$$G = \left| \frac{4RF}{\pi r^{4}\alpha}l \right| + \left| \frac{4lF}{\pi r^{4}\alpha}R \right| + \left| \frac{16lRF}{\pi r^{5}\alpha}r \right| + \left| \frac{4lRF}{\pi r^{4}\alpha}\alpha \right|$$

$$G = \left| \frac{4 \bullet 0,1 \bullet 1,18}{{(0,001985)}^{4} \bullet ( - 0,63) \bullet \pi} \bullet 0,001 \right| + \left| \frac{4 \bullet 0,986 \bullet 1,18}{{(0,001985)}^{4} \bullet ( - 0,63) \bullet \pi} \bullet 0 \right| + \left| \frac{16 \bullet 0,986 \bullet 0,1 \bullet 1,18}{{(0,001985)}^{5} \bullet ( - 0,63) \bullet \pi} \bullet 0,00001 \right| + \left| \frac{4 \bullet 0,986 \bullet 0,1 \bullet 1,18}{{(0,001985)}^{4} \bullet ( - 0,63) \bullet \pi} \bullet 0,5 \bullet \frac{\pi}{180} \right|$$

G = 15360647, 8 + 0 + 305200982, 4 + 132170282, 7 = 452731912, 9 ≈ 4, 5 • 10⁹

WNIOSKI:

Na podstawie przeprowadzonego doświadczenia możemy, wywnioskować, że drut użyty w doświadczeniu został wykonany najprawdopodobniej z glinu.
(G = 1,33 N/m²; Tablice fizyczne; Witold Mizerski Piotr Żmijewski , Jacek Litwin , Andrzej Okołów Wojciech Nowaczek; Wyd. Adamantan 2002)

Niestety nie rozumiem polecenia z instrukcji: „Porównać wartość otrzymanego modułu sztywności z danymi tablicowymi i uzasadnić różnice”. Nie wiem o jakie różnice chodzi; odniosłem raczej wrażenie, iż celem doświadczenia jest ustalenie, z jakiego materiału został wykonany drut. Nie można zbadać różnic, ponieważ nie ma punktu odniesienia, tzn. nie podano nam z czego wykonany jest drut, abyśmy mogli sprawdzić, czy doświadczenie zostało wykonane prawidłowo.