6. Analiza wrażliwościowa i statystyczna i.
Analiza wrażliwościowa
ii. Analiza Monte Carlo
iii. Analiza najgorszego przypadku
Wrażliwość
układu
określa
wpływ
znanych
lub
przewidywanych zmian parametrów elementów tego układu na jego parametry globalne (np.: parametry robocze, charakterystyki
częstotliwościowe
i
czasowe
czy
współczynnik szumów).
Decydujące znaczenie przy obliczaniu wrażliwości ma pochodna funkcji układowej
f( x ,
...,
x ) względem
1
n
parametrów elementów układu { x , ..., x }.
1
n
Wartość funkcji układowej w otoczeniu nominalnych wartości parametrów układu { x ,
...,
x } można
10
n 0
przedstawić
korzystając z rozwinięcia funkcji wielu zmiennych w szereg potęgowy Taylora.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 2/14
Przyjmując, że rozrzutom podlega n parametrów, szereg Taylora można przedstawić w formie
f ( x + D x ,..., x + D x 10
1
n 0
n ) =
k
= f (
1
x ,..., x
x
...
x
f x ,..., x
10
n 0 ) + å
¥
æ ¶
¶
ö
D + +
D
1
n
( 10
n 0 )
çç
÷÷
k! ¶ x
¶ x
k =1
è 1
n
ø
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 3/14
Przyrost funkcji układowej - przy zmianach wszystkich jej parametrów - można więc wyrazić w postaci f ( x + D x ,..., x + D x f x
x
10
1
n 0
n ) -
( ,...,
10
n 0 ) =
1 æ ¶
¶
ö1
=
D x + ... +
D x
f x
x
1
n
( ,...,
10
n 0 ) +
çç
÷÷
!
1 è ¶ x
¶ x
1
n
ø
1 æ ¶
¶
ö2
+
D x + ... +
D x
f x
x
1
n
( ,...,
10
n 0 ) + ...
çç
÷÷
!
2 è ¶ x
¶ x
1
n
ø
k
1 æ ¶
¶
ö
... +
D x + ... +
D x
f x
x
1
n
( ,...,
10
n 0 ) + ...
çç
÷÷
k! è ¶ x
¶ x
1
n
ø
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 4/14
Przy założeniu małych przyrostów można dokonać linearyzacji
pomijając
pochodne
cząstkowe
rzędów
wyższych niż pierwszy.
W ten sposób otrzymuje się intuicyjne wyrażenie określające skończony przyrost funkcji układowej D f = f - f = f 0
( x + x
D ,..., x + x
D
- f x ,..., x
»
10
1
n 0
n )
( 10
n 0 )
f
¶
f
¶
»
x
D + ... +
D x
1
n
x
¶
x
¶
1
n
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 5/14
Wrażliwość bezwzględną funkcji układowej f względem zmian parametru x definiujemy jako pochodną cząstkową i
f
¶
S =
i
x
¶ i
Korzystając z definicji wrażliwości bezwzględnej odchylenie funkcji układowej f od jej wartości nominalnej f można
0
zapisać jako algebraiczną sumę odchyleń wywołanych przez zmiany poszczególnych parametrów
n
D f = f - f =
0
å S D x
i
i
i=1
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 6/14
R 1
1
6kW
2
Vźr
R 2
R 3
1V
1kW
2kW
Przyjmijmy, że analizowanym parametrem układu jest potencjał węzła 2. Funkcja układowa będzie więc miała postać
R R
2
3
V = V
2
źr R R + R R + R R
1
2
1
3
2
3
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 7/14
Wrażliwości potencjału V na zmiany R , R i R oraz na 2
1
2
3
zmiany napięcia Vź wynoszą odpowiednio: r
¶ V
R R R + R
2
2
3 (
2
3 )
μV
= - V
= -
¶
ź
R
r
R R + R R + R R
1
( 1 2 1 3 2 3)
15
2
Ω
¶ V
R V
é
R R + R
ù
2
3
źr
2 (
1
3 )
μV
=
1 -
= 60
ê
ú
¶ R
R R + R R + R R
R R + R R + R R
Ω
2
1
2
1
3
2
3 ë
1
2
1
3
2
3 û
¶ V
R V
é
R R + R
ù
2
2
źr
3 (
1
2 )
μV
=
1 -
= 15
ê
ú
¶ R
R R + R R + R R
R R + R R + R R
Ω
3
1
2
1
3
2
3 ë
1
2
1
3
2
3 û
¶ V
R R
μV
2
2
3
=
= 100
¶ V
R R + R R + R R
mV
źr
1
2
1
3
2
3
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 8/14
¶ V
μV
¶ V
μV
¶ V
μV
¶ V
μV
2 = 15
-
,
2 = 60
,
2 = 15
,
2
=100
¶ R
Ω
¶ R
Ω
¶ R
Ω
¶ V
mV
1
2
3
źr
Oznacza to, że zwiększenie wartości rezystora R
o 1 W
1
spowoduje zmniejszenie potencjału V o 15 mV, natomiast 2
identyczna zmiana wartości rezystorów R i R wywoła wzrost 2
3
potencjału V odpowiednio o 60 mV i 15 mV. Podobnie zmiana 2
wydajności źródła napięciowego Vź o 1 mV spowoduje r
zmianę funkcji układowej o 100 mV.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 9/14
i.
Metoda przyrostowa – Sens
ii. Metoda Monte Carlo – MC
iii. Metoda najgorszego przypadku – WCS
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 10/14
Opiera się bezpośrednio na definicji i polega na zastąpieniu różniczek przyrostami skończonymi. Metoda przyrostowa wymaga przeprowadzenia jednej analizy z nominalnymi wartościami parametrów wszystkich elementów i po jednej analizie układu z kolejno modyfikowanymi parametrami elementów, względem których obliczana jest wrażliwość funkcji układowej.
W trakcie każdej takiej analizy obliczeniom podlega układ o wszystkich parametrach nominalnych z wyjątkiem jednego, względem którego liczona jest wrażliwość.
Parametr ten przyjmuje wartość nieznacznie różniącą się od wartości nominalnej (praktycznie stosuje się przyrost mniejszy od 0,1%).
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 11/14
We współczesnych realizacjach programów symulacyjnych stosowane są dwie wydajne metody wyznaczania wrażliwości:
Ø metoda układu wrażliwościowego,
Ø metoda układu dołączonego (m. równań dołączonych).
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 12/14
Analizie podlega układ o wylosowanych (zgodnie z założonymi rozkładami, określonymi przez tolerancję i typ rozkładu
gęstości
prawdopodobieństwa)
wartościach
parametrów. Cykl losowań i analiz układu powtarza się wielokrotnie, a następnie wyniki symulacji poddaje się obróbce statystycznej.
Ocenie podlega wrażliwość globalna układu w sytuacji, gdy
wszystkie
parametry
elementów
jednocześnie
przyjmują wartości odbiegające od nominalnych.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 13/14
Metoda najgorszego przypadku W trakcie tej analizy program przeprowadza symulacje z nominalnymi
wartościami
elementów,
wyznacza
wrażliwości funkcji układowej na zmiany każdego z nich i na ich podstawie przeprowadza symulacje w celu wyznaczenia
najgorszego
przypadku.
Każdemu
parametrowi program nadaje wartości leżące na granicach przedziału tolerancji. Wartości parametrów są tak dobrane, aby wpływy wszystkich odchyłek kumulowały się – istotne znaczenie mają więc znaki odpowiednich wrażliwości. Po wyznaczeniu wrażliwości symulacja jest przeprowadzana tylko jeden raz.
http://zese.wel.wat.edu.pl/adobrowolski/
A. P. Dobrowolski
6 - 14/14