Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 10
ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI – lista zadań 1. Obliczyć granice jednostronne podanej funkcji w punktach nie należących do dziedziny, a następnie wyznaczyć równania asymptot pionowych wykresu tej funkcji: 2
1
x 2
2
x 2
a)
x
f ( x)
x , b) f ( x)
, c)
x
f ( x) e .
2
x 1
2
x x 2
2. Obliczyć granice:
2
2
3
3
2
3
5
2
2
2
x 4 x 5
a) lim
x
, b)
x
x
lim
, c) lim
x
, d) lim
x
, e) lim ln
.
3
3
2
2
x 1 x
x
x x x x
2
x
2
x
x 4 x 1
x 4 x 1
x 3
3. Obliczyć granice funkcji w punktach niewłaściwych, a następnie wyznaczyć równania asymptot poziomych wykresu tej funkcji: 3 2
1
x 2
1
x 3
a)
f ( x)
x , b)
x
f ( x) e , c) f ( x)
, d) f ( x) arctg
.
2
x 1
x
e 1
x 2
4. Obliczyć granice:
2
2 2
x
x 4 x 3
4 2
x 1
a)
lim
, b)
2
x
x
lim
e
3 , c)
x 3
lim
e
, d) lim ln
.
x
x 4
x
x
x
x 3
5. Wyznaczyć równania asymptot ukośnych krzywej o równaniu y f ( x) : 3 2
x 2
3
x 2 2
a)
x
f ( x)
x , b) f ( x)
.
x 2
2
x 4
6. Wyznaczyć równania wszystkich asymptot funkcji: 2 3
1
2 x
a)
x
x
f ( x)
, b)
2
f ( x)
x
e
, c) f ( x) ln( x e )
1 , d) f ( x) 2
x
arctg 3 x , e)
1
( )
x
f x
e
.
x 2 2 x
Asymptoty wykresu funkcji – lista zadań
Odpowiedzi
2
x 2
2
x 2
2
x 2
2
x 2
1. a) lim
x , lim
x , lim
x , lim
x .
2
2
2
2
x
1
x 1
x
1
x 1
x
1
x 1
x
1
x 1
Wykres funkcji ma asymptoty pionowe: x , 1 x 1.
2
x 2 x
2
2
x 2
2
2
2
x 2 x
x 2
b) lim
,
x
lim
, lim
, lim
x .
2
2
2
2
x2
x x 2
3
x2
x x 2
3 x 1
x x 2
x
1
x x 2
Wykres funkcji ma asymptotę pionową x 1.
1
1
c)
x
lim e 0 ,
x
lim e . Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną x 0 .
x
0
x0
2. a) 0, b) 3, c) 2. d) - 2, e) 0.
2
3 x 2
2
3 x 2
3. a) lim
x 3 , lim
x 3 . Prosta y 3 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji.
2
2
x
x 1
x
x 1
1
1
b) lim x
e 1, lim
x
e 1. Prosta y 1 asymptotą poziomą.
x
x
1
1
c) lim
1
, lim
0 . Prosta y 1
as. poziomą lewostronną, y 0 as. prawostronną.
x
x e 1
x
x e 1
x 3
x 3
d) lim arctg
, lim arctg
. Prosta y asymptotą poziomą.
x
x 2
3
x
x 2
3
3
4. a) , b) , c) , d) .
5. a) Asymptota ukośna 8
y 3 x .
b) Asymptota ukośna 2
y x
.
. a) Asy
6
mptota pionowa x 2 , asymptota ukośna 4
y 2 x
.
b) Asymptoty pionowej nie ma, y 1 jest asymptotą poziomą.
c)
Prosta
x 0 jest asymptotą pionową prawostronną, prosta y x asymptotą ukośną prawostronną.
d)
Prosta
y 3
x jest asymptotą ukośną lewostronną, prosta y 3 x asymptotą ukośną prawost o
r nną.
e) Funkcja posiada asymptotę pionową lewostronną o równaniu x 1 oraz asymptotę poziomą obustronną 1
o równaniu y
.
2
e