Przykład 8: Oprocentowanie rachunku wynosi 10% w skali roku. Na rachunku znajduje się kwota 2400 zł. Na koniec kaŜdego roku z rachunku będzie wypłacana rata 300 zł. Ile rat w wysokości 300 zł moŜna wypłacić z tego rachunku? Jakie będzie saldo rachunku w rok po wypłaceniu ostatniej raty?
P=2400,
R=300,
i=10%,
n=?∈N
P
2400
ln1 − i ⋅
ln1 − 1
,
0 ⋅
R
300
n = −
= −
=16 8
, 9 ∉N, n=NPER(10%; 300; -2400) ln(1+ i)
ln(1+
)
1
,
0
Maksymalna liczba wypłat: n* =16
Saldo po n
n
16
*
⋅ +
=
⋅
=
* latach przy braku wypłat: P (1 i)
2400
1
,
1
11027 9
, 4
1
,
1 16 −1
Wartość końcowa ciągu n
⋅
=
⋅
=
* wypłat:
R s
300
10784 9
, 2
n i
|
*
1
,
0
Saldo po n
n*
⋅ +
⋅
=
−
=
* wypłatach:
P (1 i)
- R s
11027 9
, 4 10784 9
, 2
243 0
, 2
n i
|
*
Saldo po roku od ostatniej wypłaty: 243,02⋅(1+10%)=267,32 < 300 = R
Przykład 9: Oblicz liczbę rat renty, dla której R=200, i=5%, P=3600.
P
3600
ln1 − i ⋅
ln1 − 0
,
0 5 ⋅
R
200
n = −
= −
= 47 1
, 9
ln(1+ i)
ln(1 + 0
,
0
)
5
Problem sprzeczny, bo n=47,19∉N. Rozwiązanie stosowane w praktyce: zaokrąglenie n w dół lub w górę i korekta wysokości ostatniej raty.
1. zaokrąglenie n w górę, n=48 ⇒ R = ... = R
= R
<
1
n 1
-
, R
R
n
−n
P = R ⋅ a
+ R ⋅(1 i)
n −
+
i
|
1
n
−48
3600 = 200 ⋅ a
+ R ⋅(1+ 5%)
⇒ R
= 3 ,
9 49
47 5
| %
48
48
2. zaokrąglenie n w dół, n=47 ⇒ R = ... = R
= R
>
1
n 1
-
, R
R
n
−n
P = R ⋅ a
+ R ⋅(1 i)
n −
+
i
|
1
n
−47
3600 = 200 ⋅ a
+ R ⋅(1+ %
5 )
⇒ R
= 237,61
46 5
| %
47
47
Praca domowa: zadania 5.1-5.7, 5.9-5.14, 5.19 a-d, 5.20 (tylko oprocentowanie składane), 5.22
Przykład 1: Dług w wysokości 1000 zł będzie spłacony w trzech ratach 300, 400, R3 . Jaka powinna być wysokość trzeciej raty, aby dług został spłacony wraz z odsetkami obliczonymi przy stopie i=5%?
1000
300
400
R3
0
1
2
3
n
− j
R
K = ∑
⋅
300
400
3
=
+
0
R
(1 i)
,
1000
+
⇒ R =406,88
j 1
=
+
j
,
1 05
2
3
3
,
1 05
,
1 05
n
n
n − j
K ⋅
+
= ∑
⋅
0 (1
i)
R
(1 i)
j 1
=
+
j
2
1000 ⋅1,05 = 300 ⋅ 0
,
1 5 + 400 ⋅ ,
1 05 + R3 ⇒ R3 =406,88
j=1: K = 1000
+
⋅ −
=
+
⋅
−
=
0
,
K
=
0
K0 i R1 1000 1000 0,05 300 750
1
K
j=2: K = 750
+
⋅ −
=
+
⋅
−
=
1
,
1
K
=
1
K
i
R 2 750 750 ,
0 05
400
387 5
,
K2
j=3: K = 387 5
,
+
⋅ −
=
+
⋅
−
=
2
, K
=
2
K 2 i R3 387 5
,
387 5
,
,
0 05
406 8
, 8
0
K3
Przykład 2: Dla spłaty długu z przykładu 1 oblicz część odsetkową i kapitałową rat oraz dług bieŜący na koniec kolejnych okresów w zaleŜności od części kapitałowych rat.
j=1: K = 1000
0
I = K ⋅ i = 1000 ⋅ 0,05 = 50
=
− =
−
=
1
0
,
U
R
I
300 50
250
1
1
1
K = K − U = 1000 − 250 = 750
1
0
1
j=2: K = 750
1
I = K ⋅ i = 7 0
5 ⋅ 0,05 = 37 5
,
=
−
=
−
=
2
1
, U
R
I
400 37 5
,
362 5
,
2
2
2
K = K − U = 750 − 362 5
, = 387 5
,
2
1
2
j=3: K = 387 5
,
=
=
=
2
, I
19 3
, 8
3
, U
387 5
,
3
, K
0
3
j
K
=
− ⋅
=
=
j 1
−
R j
I
K
i
j
j 1
U
−
j
R j I j
K
− −
j
K j 1 U j
1
1000
300
50
250
750
2
750
400
37,5
362,5
387,5
3
387,5 406,88
19,38
387,5
0
Σ
1000