27. Określenie funkcji, definicje funkcji monotonicznych, parzystych, nieparzystych, okresowych, umiejętność wykazywania z definicje tych własności dla danej funkcji.

Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie (przekształcenie), zgodnie z którym każdemu elementowi z jednego zbioru (argumentów) przyporządkowujemy tylko jeden element drugiego zbioru (wartości funkcji).

(X - zbiór argumentów - dziedzina; Y - zbiór wartości - przeciwdziedzina)

Jeżeli dziedzina i przeciwdziedzina funkcji f są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych to f nazywamy funkcją rzeczywistą. Jeżeli funkcja rzeczywista f jest określona wzorem i nie jest podana dziedzina tej funkcji wówczas za dziedzinę funkcji f przyjmujemy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których istnieje f(x).

Funkcja różnowartościowa (INJEKCJA):

(funkcje ściśle monotoniczne)

Funkcja ograniczona:

Funkcja parzysta:

Funkcja nieparzysta:

Monotoniczność funkcji:

Mówimy że funkcja jest rosnąca, jeżeli ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną.

Mówimy, że funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartości maleją.

Mówimy, że funkcja jest stała, jeżeli wartości tej funkcji są stałe (jednakowe).

Mówimy, że funkcja jest nie rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją lub nie zmieniają się.

Mówimy, że funkcja jest nie malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną lub nie zmieniają się.

Mówimy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna, jeżeli istnieją przedziały w których funkcja jest ściśle monotoniczna.

(np. f. cosinus
- funkcja malejąca;
- funkcja rosnąca)

Funkcja okresowa - funkcja f(x), dla której istnieje taka liczba T (nazywana okresem), że dla każdego x∈D

Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą, to wykresem funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne mają postać (x, f(x)).

Miejscami zerowymi funkcji nazywamy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią odciętych.

f(x₀)=0 x₀ - miejsce zerowe funkcji

Mówimy, że funkcja f osiąga w pkt. x₀ maksimum lokalne, jeżeli w dowolnym sąsiedztwie tego punktu funkcja przyjmuje wartości mniejsze.

Mówimy, że funkcja f osiąga w pkt. x₀ minimum lokalne, jeżeli w dowolnym sąsiedztwie tego punktu funkcja przyjmuje wartości większe.

// sąsiedztwo punktu ( S(x₀) ):

funkcje ściśle monotoniczne

x

x

y

y

x₀

x

---