4.3 Pochodne funkcji elementarnych

Wzory pochodnych funkcji elementarnych

f(x)	f′(x)	Uwagi
C	0
x^n	nx^n-1	n∈N, n≥2, x∈R
x^α	αx^α^-1	α∈R, x∈R
x	1	x∈R
x^2	2x	x∈R
x^3	3x^2	x∈R
		x∈R+
		x∈ R\{0}
		x∈R\{0}, a≠0
		x∈R\{0}
a^x	a^x⋅ln(a)	x∈R, a∈R+\{1}
e^x	e^x	x∈R
loga|x|		a∈R+\{1}, x∈R\{0}
loga(x)		a∈R+\{1}, x∈R+
ln|x|		x∈R\{0}
ln(x)		x∈R+

4.3 Pochodne funkcji elementarnych

Wzory pochodnych funkcji trygonometrycznych

f(x)	f′(x)	Uwagi
sin(x)	cos(x)	x∈R
cos(x)	-sin(x)	x∈R
tg(x)
ctg(x)
arcsin(x)		x∈(-1,1)
arccos(x)		x∈(-1,1)
arctg(x)		x∈R
arcctg(x)		x∈R
	ch(x)	x∈R
	sh(x)	x∈R
		x∈R
		x∈(-∞,0)∪(0,+∞)
		x∈R
		x≥1
		|x|<1
		|x|>1

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Pochodne jednostronne funkcji w punkcie

Definicje (Pochodna właściwa funkcji w punkcie x₀)

Niech x₀∈R i niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę właściwą:

(4.4.1)

Niech x₀∈R i niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Pochodną prawostronną właściwą funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę właściwą:

(4.4.2)

Twierdzenie (Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej)

Funkcja f ma pochodną w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

(4.4.3)

Definicje (Pochodna funkcji w przedziale, funkcja różniczkowalna)

Funkcja f ma pochodną w przedziale	jeżeli ma pochodną
(a,b) ,	w każdym punkcie tego przedziału
[a,b) ,	w (a,b) i prawostronną pochodną w a
(a,b] ,	w (a,b) i lewostronną pochodną w b
[a,b] ,	w (a,b), prawostronną pochodną w a i lewostronną pochodną w b
(-∞,b] ,	w (-∞,b) i lewostronną pochodną w b
[a,+∞) ,	w (a,+∞) i prawostronną pochodną w a

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Twierdzenia (O arytmetyce pochodnych funkcji)

Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x₀, to

	(4.4.4)
	(4.4.5)
	(4.4.6)
	(4.4.7)
	(4.4.8)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli:

1. funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀

2. funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x₀), to

(4.4.9)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. jest ciągła na otoczeniu O(x₀),

2. jest ściśle monotoniczna na otonczeniu O(x₀),

3. ma pochodną właściwą f′(x₀) ≠ 0, to

(4.4.10)

Uwaga:

Powyższe wzory są prawdziwe dla pochodnych jednostronnych.

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Twierdzenie (O pochodnych funkcji elementarnych)

Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.

Twierdzenie (O pochodnej funkcji niejawnej)

Jeśli funkcja różniczkowalna y=f(x) jest przedstawiona równaniem F(x,y)=0, to pochodna tej funkcji y′=f′(x) może być wyznaczona z równania:

(4.4.11)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji parametrycznej)

Jeśli funkcja y=f(x) jest przedstawiona równaniami parametrycznymi:

(4.4.12)

gdzie x(t) i y(t) są funkcjami różniczkowalnymi i x′(t)≠0, to pochodna y′=f′(x) wyraża się wzorem:

(4.4.13)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji potęgowo-wykładniczej)

Pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej y=[f(x)]^g(x), gdzie funkcje f oraz g są różniczkowalne przedstawia wzór:

(4.4.14)

---