4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Reguły różniczkowania

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Reguły różniczkowania

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodna funkcji złożonej

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodna funkcji złożonej

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 5 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 1 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f^-1)′(y) dla f(x)=e^x, gdzie x∈R.

Przykład 2 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f^-1)′(y) dla f(x)=ctg(x), gdzie x∈(0,π).

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 3

Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć

(f^-1)′(3) ∧ f(x) = x⁵ + x + 1.

Zauważmy najpierw, że funkcja f jest ciągła i rosnąca na R.

Ponadto f(1) = 1⁵+1+1 = 3.

Stąd wynika, że 1 jest jedynym rozwiązaniem równania:

x⁵ + x + 1 = 3

Funkcja f spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.

Zatem mamy:

Przykład 4

Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć

(g^-1)′(1) ∧ g(x) = 2e^3x - e^-x.

Zauważmy najpierw, że funkcja g jest ciągła i rosnąca na R.

Ponadto g(0) = 2e⁰ - e⁰ = 2-1 = 1.

Stąd wynika, że 1 jest jedynym rozwiązaniem równania:

2e^3x - e^-x = 1

Funkcja g spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.

Zatem mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 3

Wykazanie, że funkcja

f(x) = x⁵ + x + 1

jest ciągła i rosnąca na R

oraz pokazanie wykresu w programie Matcad 2001

Ciągłość

Monotoniczność

Wykres

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji odwrotnych

Przykład 4 Wykazanie, że funkcja

g(x) = 2e^3x - e^-x

jest ciągła i rosnąca na R

oraz pokazanie wykresu w programie Mathcad 2001

Ciągłość

Monotoniczność

Wykres

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych niejawnie

Przykład 1 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

Przykład 2 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych niejawnie

Przykład 3 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

Przykład 4 Obliczyć pochodną
funkcji, gdzie y=y(x):

Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych parametrycznie

Przykład 1 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

Przykład 2 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji danych parametrycznie

Przykład 3 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

Przykład 4 Obliczyć pochodną
funkcji o równaniach:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji potęgowo-wykładniczych

Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji:

Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji:

4.5 Obliczanie pochodnych funkcji

Pochodne funkcji potęgowo-wykładniczych

Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji:

Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji:

---