II. ciągi liczbowe
2.1 Podstawowe określenia
Definicja (Ciąg liczbowy)
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych:
|
(2.1.1) |
Sposoby określania ciągu liczbowego:
• Wzór
|
|
|
|
• Rekurencja
|
- ciąg arytmetyczny |
|
- ciąg geometryczny |
|
- ciąg Fibonacciego1 |
• Opis
an |
to n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π |
bn |
to n-ta liczba pierwsza |
cn |
to przedostatnia cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby (n+3)2 |
• Wykres
|
• Tabela 1 → 1 2 → 1 3 → 2 4 → 3 5 → 5 6 → 8 7 →13 ... |
• Podanie kilka początko-wych wyrazów ciągu: - liczb Fibonacciego1 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} - liczb parzystych {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} - liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} |
1 Leonardo Pisano Fibonacci (ok.1170 - ok.1250), matematyk włoski.
2.1 Podstawowe określenia
Definicja: (Ciąg ograniczony z dołu)
Ciąg {an} jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {an} jest ograniczony z dołu, tzn.
|
(2.1.2) |
Ciąg ograniczony z dołu
Definicja: (Ciąg ograniczony z góry)
Ciąg {an} jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {an} jest ograniczony z góry, tzn.
|
(2.1.3) |
Ciąg ograniczony z góry
2.1 Podstawowe określenia
Definicja: (Ciąg ograniczony)
Ciąg {an} jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {an} jest ograniczony z góry, tzn.
|
(2.1.4) |
Zbiór ograniczony
Przykłady:
Wyraz ogólny |
Ciąg |
Ograniczoność |
|
|
z dołu |
|
|
z góry |
|
|
ograniczony |
Definicja: (Ciąg nie jest ograniczony z dołu)
Ciąg {an} nie jest ograniczony z dołu, jeżeli
|
(2.1.5) |
Definicja: (Ciąg nie jest ograniczony z góry)
Ciąg {an} nie jest ograniczony z góry, jeżeli
|
(2.1.6) |
2.1 Podstawowe określenia
Definicja: (Ciąg rosnący)
Ciąg {an} jest rosnący, jeżeli
|
(2.1.7) |
Ciąg rosnący
Definicja: (Ciąg niemalejący)
Ciąg {an} jest niemalejący, jeżeli
|
(2.1.8) |
Ciąg niemalejący
2.1 Podstawowe określenia
Definicja: (Ciąg malejący)
Ciąg {an} jest malejący, jeżeli
|
(2.1.9) |
Definicja: (Ciąg nierosnący)
Ciąg {an} jest nierosnący, jeżeli
|
(2.1.10) |
Definicja: (Ciąg stały)
Ciąg {an} jest stały, jeżeli
|
(2.1.11) |
Uwaga:
• Ciągi rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi, a ciągi nierosnące i niemalejące nazywamy słabo monotonicznymi.
• Monotoniczność dowolnego ciągu {an} możemy ustalić badając znak różnicy an+1 - an, a ciągu {bn} o wyrazach dodatnich porównując iloraz bn+1/bn z liczbą 1:
an+1 - an |
|
Ciąg |
> 0 |
> 1 |
rosnący |
< 0 |
< 1 |
malejący |
≥ 0 |
≥ 1 |
niemalejący |
≤ 0 |
≤ 1 |
nierosnący |
2.1 Podstawowe określenia
Przykład 1 Zbadać monotoniczność ciągu:
|
(∗) |
Badamy znak różnicy: an+1 − an
Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗) jest rosnący.
Przykład 2 Zbadać monotoniczność ciągu:
|
(∗∗) |
Badamy znak różnicy: bn+1 − bn
Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗∗) jest malejący.
II. ciągi liczbowe
2.2 Granice ciągów
Definicja: (Granica właściwa ciągu)
Ciąg {an} jest zbieżny do granicy właściwej g∈R, co piszemy
|
(2.2.1) |
wtedy i tylko wtedy, gdy
|
(2.2.2) |
Granica właściwa ciągu
Twierdzenie: (O jednoznaczności granicy ciągu)
Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. |
(2.2.3) |
Przykłady:
|
|
|
|
|
|
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
Dla n>666 prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału (-1-0,001; -1+0,001) ⇔ (-1,001; -0,999)
Uwaga: Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” znaczy wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów.
2.2 Granice ciągów
Definicja: (Granica niewłaściwa ciągu)
Ciąg {an} jest zbieżny do granicy niewłaściwej +∞, co zapisujemy
|
(2.2.4) |
wtedy i tylko wtedy, gdy
|
(2.2.5) |
Granica niewłaściwa +∞
Przykłady:
|
|
|
|
|
|
2.2 Granice ciągów
Definicja: (Granica niewłaściwa ciągu)
Ciąg {an} jest zbieżny do granicy niewłaściwej -∞, co zapisujemy
|
(2.2.6) |
wtedy i tylko wtedy, gdy
|
(2.2.7) |
Granica niewłaściwa -∞
Przykłady:
|
|
|
|
|
|
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
co kończy dowód.
Przykład:
Dla n>5 prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od -27.
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
co kończy dowód.
Przykład:
Dla n>3 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od 34.