Cialkoskrypt2

382 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

więc mnożąc stronami związki (a) i (b), uzyskujemy

V₃ =— (/-h₃),

V₃ / - h₃ ^Pz=^-^P3~‘^P3-

Po zakończeniu napełniania zbiornika ciśnienie p₄ - p₀ będzie równe ciśnieniu hydrostatycznemu słupa cieczy o wysokości h_t - h₄, mianowicie

P4 “Po =P’g*(hi-h₄) lub p₄ =p-g-(h,-h₄) + _Po,

stąd objętość powietrza nad lustrem cieczy

lub

P3 P 4

v₄ = v₃ • —= v₃ ■

P3

7id

P-g-(h,-h₄)+p₀    4

P3

/, . \ _

4    ¹    p.g.(h,-h₄) _{+ Po} 4

³ 0 “ h₄)

0“h₄).

albo

Po.

Pg

+ h, — h₄

„^~h₃ p₃ Pg"

Powyższe równanie z niewiadomą h₄ sprowadza się do następującego równania kwadratowego:

a • h₄ + b • h₄ + c = 0.

Po podstawieniu danych z zadania otrzymamy:

a= i, b = -| / + hj + — ) = -118,1936799, Pg.

c = l-| h, + ^

Pg.

~(/-h₃)—= 803,0581039, Pg

A = yjh² -4ac = 103,718434, stąd rozwiązanie jest następujące:

j 2

h₄ = ~^{b ±}    ~^4ac- = 59,09683995 ±51,859217.

⁴    2a

Ponieważ h₄ < /, więc wybieramy rozwiązanie ze znakiem minus: h₄= 59,09683995 - 51,859217 * 7,24 m

oraz

p4 = pg(h[ - h₄) + po = 1000 • 9,81 • (100 - 7,2376) + 1 = 10,1 bar.

Aby wyznaczyć czas napełniania zbiornika, napiszmy równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 oraz równanie ciągłości dla przekrojów 2-2 i z-z:

22    2

^v Pi    v, p₇    „ v₇

2g Pg

2g Pg

2g

h₄ — h₄| l + h, +-^* | +1

Pg

P₃

h, + — I - (/ - h₃)— = O

Pg

Pg

lub w zwartej postaci

+ — + h, = — + ^ + h₂ —, V, =0, p, = Po,

m_w=A₂pv₂=A_zpv_z, v_z=—.

dt

Ponieważ ciśnienie w objętości nad lustrem cieczy p = p_z i jest stałe (pomijamy ciśnienie hydrostatyczne słupa powietrza), więc ciśnienie w przekroju 2-2

/ - hu

P₂ = P_Z+Pgz = -—^'P₃ ⁺Pg^z-ł-z

Po połączeniu powyższych trzech związków uzyskujemy