CCF20090701053

104 E. Cassirer - O teorii względności Einsteina

sensu”. Bowiem także tutaj doświadczenie w żaden sposób nie dostarcza podstawy aksjomatom geometrii, a jedynie dokonuj e spośród nich -jako różnych możliwych logicznie systemów, z których każdy jest wyprowadzony w sposób ściśle racjonalny - wyboru, pod kątem konkretnego zastosowania w interpretacji zjawisk¹. Tutaj także, mówiąc językiem Platona, zjawiska są mierzone ideami, podstawami geometrii, a te ostatnie nie mogą być odczytywane bezpośrednio poza zjawiskami zmysłowymi.

Jednak przyznając w tym sensie geometrii nieeuklidesowej znaczenie i przydatność dla doświadczenia fizycznego, trzeba z drugiej strony podkreślić ogólno-metodyczną różnicę, która wciąż pozostaje pomiędzy nią a geometrią Euklidesa. Różnica ta nie może być już traktowana jako wynikająca z jej stosunku do doświadczenia, lecz jako polegająca na pewnych „wewnętrznych” momentach, to znaczy na ogólnych określeniach teorii relacji. Szczególną i wyjątkową logiczną pozycję oraz leżącą u jej podstaw prostotę idealnej struktury, można także wówczas dostrzec w geometrii Euklidesa, jeżeli musiałaby zrzec się ona swej dotychczasowej suwerenności w obrębie fizyki. I właśnie tutaj tkwi podstawowa myśl ogólnej teorii względności, która, przełożona z powrotem z języka fizyki na język logiki i ogólnej metodologii, może tę szczególną pozycję uzasadnić i uczynić uchwytywalną. Geometria euklidesowa spoczywa na określonym aksjomacie względności, który jest jej właściwy. Jako geometria przestrzeni o stałej zerowej krzywiźnie, jest ona charakteryzowana przez wszechobejmującą względność wszelkiego miejsca i wszelkiej wielkości. Jej formalne określenia są z zasady niezależne od jakichkolwiek absolutnych określeń wielkości. Podczas gdy, na przykład w geometrii Łobaczewskiego, suma kątów trójkąta jest różna niż 180 stopni, a im bardziej się różni, tym bardziej wzrasta powierzchnia trójkąta, w geometrii euklidesowej w żadnym twierdzeniu nie mamy do czynienia z absolutną wielkością linii. Tutaj dla każdej danej figury da się skonstruować „podobną”; szczególna konstrukcja geometryczna zostaje uchwycona w swej czystej Jakości” - w definicji nie bierze się pod uwagę żadnej określonej „ilości” i żadnej absolutnej wartości liczbowej. Ta obojętność euklidesowych konstrukcji geometrycznych na wszelkie absolutne określenia wielkości oraz wykazana tutaj wolność wszystkich poszczególnych punktów przestrzeni euklidesowej od wszelkich określeń i własności, tworzy logiczno-po z y t y w n y charakter tej przestrzeni. Bowiem także tutaj obowiązuje twierdzenie: „omnis determinatio est negatio”. Założenie (Setzung) tego, co nieokreślone służy jako podstawa do bardziej złożonych założeń i określeń, które mogą być do niego dołączone. W tym sensie geometria euklidesowa jest i pozostaje „najprostsza”, bynajmniej nie w praktycznym, lecz ściśle logicznym sensie; przestrzeń Euklidesowa jest - jak wyraził to Poincare - „prostsza nie tylko z powodu naszych intelektualnych przyzwyczajeń czy z powodu jakiejś bezpośredniej intuicji, którą mamy wobec niej, lecz jest prostsza sama w sobie, tak jak wielomian pierwszego stopnia jest prostszy od wielomianu stopnia drugiego” (72, s. 67). Ta logiczna prostota, która w systemie naszych narzędzi intelektualnych przynależy przestrzeni euklidesowej i która jest całkowicie niezależna od jej stosunku do doświadczenia, wyraża się na przykład w fakcie, że możemy dowolną „daną” przestrzeń, o jakimś określonym zakrzywieniu, przełożyć na przestrzeń euklidesową poprzez rozpatrzenie w niej odpowiednio małego obszaru, w którym znika różnica uwarunkowana zakrzywieniem. Geometria euklidesowa jawi się tu jako geometria właściwa dla nieskończenie małych obszarów, a zatem jako wyrażenie pewnych elementarnych stosunków, które kładziemy u podstaw myślenia, chociaż w pewnych przypadkach przechodzimy od nich do form bardziej złożonych.

Rozwój ogólnej teorii względności nie narusza tej metodycznej przewagi geometrii euklidesowej. Bowiem pomiary euklidesowe nie obowiązują już w niej absolutnie, lecz jedynie dla pewnych „elementarnych obszarów”, które wyróżniają się określoną prostotą warunków fizycznych. Euklidesowy wzór na element liniowy okazuje się niewystarczający dla realizacji podstawowych idei teorii względności, ponieważ nie spełnia podstawowego wymogu zachowania swej formy przy każdej dowolnej zmianie układu odniesienia. Musi być zastąpiony przez uniwersalny

element liniowy

ds¹='Lgn_Vdx_tldx_v, który spełnia ten wymóg. Jednak gdy

bierzemy pod uwagę nieskończenie mały czterowymiarowy obszar, to wyraźnie wymaga się, by założenia szczególnej teorii względności, a tym samym pomiary euklidesowe pozostały do niego adekwatne. Forma uniwersalnego elementu liniowego przechodzi tutaj — kiedy dziesięć wielkości g, które występują w niej jako funkcje współrzędnych poszczególnych punktów, przybiera określone stałe wartości - w element Euklidesowy szczególnej teorii. Fizykalna interpretacja tych stosunków polega

1

O stosunku problemu metageometrii do problemu „doświadczenia”, por. zwłaszcza Albert Gorland (28, s. 324 i nast.).