Xerox Phaser200MFP 081126113842

112 Janusz Buga, Helena Kassyk-Rokicka

Ocena siły związku korelacyjnego jest zgodna z oceną, jaką uzyskaliśmy opierając się na wskaźniku siły zależności e^. Liczbowe wartości obu miar są bardzo zbliżone. Wynika to z faktu, że badana zależność korelacyjna jest liniowa (por. rys. 3). Potwierdzeniem tego faktu jest wysokość miernika stopnia nieliniowości (inaczej mówiąc, stopnia krzywoliniowości) regresji empirycznej Y względem X:

= e²yx - 4 = 0,756² - 0,741² = 0,022.

Miernik m^ może przyjmować wartości z przedziału <0,1>. Otrzymana z przykładu bardzo niska wartość potwierdza bardzo niski stopień nieliniowości (krzywoliniowości) regresji empirycznej Y względem X. Wówczas - a ma to miejsce w naszym przykładzie - do oceny siły i kierunku zależności lepiej przyjąć współczynnik korelacji liniowej r(xy). W przypadku odwrotnym, tzn. gdyby przyjęło wysoką wartość do oceny siły badanego związku należy przyjąć wskaźnik siły korelacji e^.

4.3. Analiza regresji prostej

Przez analizę regresji rozumiemy badanie wpływu zmiennych uznanych w badaniu za niezależne (przyczyny) na zmienną uznaną za zależną (skutek). Jeżeli przedmiotem badania statystycznego jest tylko jedna zmienna niezależna (X) i tylko jedna zmienna zależna (Y), a zależność ta ma przebieg liniowy, to regresję Y względem X nazwiemy regresją prostą. Dla badanej empirycznie n-elementowej próby, ogólny model regresji zapiszemy w następujący sposób:

yi = f[xO + z; gdzie i = 1, 2,..., n.    (4.19)

W przypadku liniowej zależności mamy:

y_{ = a_yXi + b_y + z-, gdzie h[xO « y-, = a_yx_s + b_y    (4.20)

jest funkcją regresji Y względem X i stanowi główny składnik modelu;

Z[ = yi - yi jest składnikiem resztowym modelu, który mieści w sobie:

-    efekt łącznego oddziaływania na zmienną Y (zależną) wszystkich innych czynników poza czynnikiem przyjętym jako zmienna X;

-    efekt działania składnika czysto losowego;

-    błędy wynikające z przyjęcia niewłaściwej postaci funkcji regresji !Ui);

-    błędy pomiarów wartości X i cechy Y.

Parametr a_y liniowej funkcji regresji oraz wyraz wolny by oszacujemy, korzystając z wzorów wyznaczonych z matematycznego warunku minimalizacji sumy kwadratów odchyleń wartości teoretycznych i empirycznych, tzw. pojedynczej metody najmniejszych kwadratów.

Biorąc pod uwagę, że badania statystyczne prowadzimy zawsze na skończonych n-elementowych zbiorowościach, powyższy warunek zapiszemy:

X(Yi -yi)^{2 = min}>    (⁴-21)

i=i

a w przypadku liniowej funkcji regresji y_s = f(Xj) ma on postać:

^(yi-a^-by)² = min.    (4.22)

i=l

Stosując matematyczne warunki minimalizacji wyrażenia (4.21) w efekcie końcowym otrzymujemy wzory służące do obliczenia ay i b_y:

n    u    u

“Z^-Z^Z?.

a_y =

i=l

i=l i=l

(4.23)

n2*f-

i=l

i=l

n    n

I>i-^ayZ^xi

b = —-—— = y - a x    (4.24)

³    n

Parametr % nazywamy współczynnikiem regresji liniowej Y względem X, natomiast b_y jest wyrazem wolnym tej funkcji regresji.