0622

624

XIV. Całki zależne od parametru

(podstawienie y = c/z). Stąd

7 - Ae~^2c, A - j/S/2.

Odpowiedź.    e~²^’* [por. 497, 8)].

7) Obliczyć całką

7=J ‘-'.cosbt-e-S cos b_tt _dt (a>fli>0).

Rozwiązanie. Różniczkując wzglądem a i względem ó otrzymujemy

sj

da

— — J e~" cos bt dt =

ej

Sb

— f e~“ sin bt dt =---

* />•

o^J+ó^ł

Nietrudno z tych pochodnych cząstkowych odtworzyć samą funkcją (')

j--|ln(a²+b²)+C,

gdzie C nie zależy ani od a, ani od b. Ponieważ dla a = a_t i b = b_t jest 7=0, więc

C = -Iln(_fl?+ói),

zatem

y = ±l„4±M..

2    a²+b²

8) Obliczyć całki (a>0, b>0)

oo    oo

u = J e^_“ cos bx²dx, v = J e^-**¹ sin bx²dx. o    o

Rozwiązanie. Obliczymy pochodne tych całek wzglądem parametru b posługując sią regułą Leibniza.

du

— f x²e~^mx* sin bx²dx,    = | x²e‘^ cos bx²dx

J    At% J

db

Całkując .przez części obliczamy łatwo

du ___1_ ^__b_ dv_ do _ 1    , b . du

db    2 a    a db ’ db    2a    a db

i rozwiązując te równania względem pochodnych otrzymujemy

(20)

du

db

bu+av

do

au—bo

2 (a²+b²) ’ db 2 (a²+b²) *

Dla szukanych funkcji u i v zmiennej b otrzymaliśmy w ten sposób układ równań różniczkowych.

Łatwo jest ten układ sprowadzić do jednego równania o rozdzielonych zmiennych wprowadzając funkcją zespoloną w = u+iv zmiennej rzeczywistej b. Mianowicie, jeżeli drugie z równań (20) pomnożymy przez < i dodamy stronami do pierwszego, to otrzymamy równanie

dw _    —b+ai

db

2(a²+b²) ^W = 2 ’ a-bi

(’) Później zajmiemy się tym zagadnieniem systematycznie; tutaj „funkcją pierwotną” można od* gadnąć.