0642

644

XIV. Całki zależne od parametru

Stąd

(2)    B(a,b) =-±Z^l—_B{a,b-\).

Stosując ten wzór możemy tak długo zmniejszać b, jak długo b jest większe od 1. W ten sposób zawsze można doprowadzić do tego, żeby drugi argument funkcji był nie większy od 1.

To samo można osiągnąć również dla pierwszego argumentu, ponieważ wobec syme-tryczności funkcji B prawdziwy jest również drugi wzór redukcyjny (a > 1)

(2')    B(a,b) =    B{a-\,b).

Jeżeli b jest liczbą naturalną n, to stosując wzór (2) odpowiednią ilość razy otrzymamy

n — 1    n—2    1

B (a, n) =

a + n — 1 a + n—2

u +1

B(a, 1).

Ale

B (a, 1) = / x'~¹dx = —.

Stąd otrzymujemy ostatecznie następujące wyrażenie dla B (a, ń) i jednocześnie B («, a)

(3)    B (n, a) = B (a, n) =

Jeśli a jest liczbą naturalną m, to

1-2 -2- ... •(«—!)

a (a + l)(a+2)... (a+n-ł)

B (m, n) =

(n —1)! (m-1)!

(m + n-1)!

Wzór ten można zastosować również dlam = li n = 1, jeśli przez 0! będziemy rozumieli 1. 3° Podamy inne przedstawienie analityczne funkcji B, które często bywa użyteczne.

Podstawmy mianowicie w całce (1) x = —, gdzie y jest nową zmienną przebiegającą

wartości od 0 do oo. Otrzymamy w ten sposób

(4)

B

OO

(a,b)= f

(l+j,)^a+6

dy

Przyjmijmy we wzorze (4) b = 1—a, gdzie 0 < a < 1. Otrzymamy teraz

oo

B(a, 1 —a) = f Ą

a-l

+y

dy